Обобщенные интегралы типа Римана-Стилтьеса и формула интегрирования по частям

• Автор: Нараленков, Кирилл Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с.

Содержание
1 Введение

1.1 Обобщения интеграла Римана-Стилтьеса

1.1.1 Обобщения, основанные на модификациях римановского предельного перехода

1.1.2 Вариационные и масштабные интегралы

1.2 Интегрирование вектор-функций

1.3 Интегрирование по частям

1.3.1 Интегралы, определяемые через обобщенный

предел, и интегрирование по частям

1.3.2 Масштабные, вариационные интегралы и интегрирование по частямщущ-ц'

1.4 Структура и содержание "настоящей работы

2 Обобщенные интегралы
2.1 Базисные определения и результаты
2.1.1 Интегралы Полларда и Юнга
2.1.2 Масштабные интегралы
2.1.3 Слабая лемма Сакса-Хенстока и непрерывность неопределенного интеграла
2.1.4 Вектор-функции ограниченной вариации
2.2 Необходимые условия интегрирования по частям
3 Интегрирование по частям
3.1 Связь интегралов Юнга и Полларда
3.2 Интегрирование по частям относительно базиса У
3.3 Примеры
Список литературы

Глава
Введение
Эта работа посвящена проблемам теории интеграла Стилтьеса векторнозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке действительной прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие процесс Римана-Стилтьеса. Такие процессы основаны на уменьшении класса разбиений, по которым осуществляется предельный переход, и (или) различных модификациях интегральных сумм.
Положительные действительные функции на множестве Е будут называться масштабами на множестве Е.
На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений:
1. Q — множество всех рациональных чисел, R — множество всех действительных чисел, С — множество всех комплексных чисел.
2. I — интервал1 действительной прямой, 0 — пустое множество, Р — замыкание множества Р, Р° — множество всех внутренних точек множества Р, дР — граница множества Р, jiP — мера Лебега множества Р.
3. X, У, Z — банаховы пространства над R (над С), X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов надХ).
4. AF(I) — приращение функции F на интервале I, A+F(t) = F(t+) — F(t), A~F{t) = F{t) - F(t-), и AF(t) = F(t+) - F(t-J.
1 Слово интервал подразумевает промежутки вида: (с, d) — открытые интервалы, [с, d) — открытые справа интервалы, (с, d] — открытые слева интервалы, [с, d] — замкнутые интервалы (отрезки), где с < d. Всякий раз, когда из контекста ясно о каком типе интервалов идет речь, уточняющие слова будут опускаться.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

5. V И — вариация функции Р на отрезке [а, 6].

6. Хр ~~ индикатор (характеристическая функция) множества Р.
1.1 Обобщения интеграла Римана-Стилтьеса
Интеграл Римана-Стилтьеса (ЯЯ) впервые возник в 1894 году в теории цепных дробей в работе Т. Стилтьеса [85] и в течение примерно 15 лет оставался лишь специфическим обобщением интеграла Римана. В 1909 году Ф. Рисс [79] открыл, что интеграл Римана-Стилтьеса является общим образованием — элементом пространства С* [а, Ь].
Теорема А (Ф. Рисс). Всякий элемент х* € С*[а,Ь] представим формулой
где д — функция ограниченной вариации на [а, Ъ], зависящая от х*.
В 1910 году А. Лебег публикует заметку [52], в которой содержится формула, выражающая ЯЯ-интеграл от непрерывной функции через интеграл Лебега от суммируемой функции
где /(£) — непрерывная функция, а д(Г) — функция ограниченной вари-ации на отрезке [а, Ь], д(4) = V д, 1(т) — функция, обратная к ц(<). На
основе этой формулы Лебег предложил определить интеграл Стилтьеса от измеримой функции; так как |зр| = 1 почти всюду, то интегрируемыми оказываются все ограниченные измеримые функции. Лебег высказал сомнение в существовании определения интеграла Стилтьеса от измеримой функции не опирающегося на понятие меры. Само это определение интеграла Стилтьеса у Лебега по существу не отличалось от определения интеграла измеримой функции по мере. Однако, спустя четыре года У. Юнг [91] дал новое определение интеграла Стилтьеса. В 1914 году, применив метод монотонных последовательностей, он весьма просто пришел к тому же обобщению. У. Юнг определил интеграл, который в точности
(ЯЗ) £ т <*
ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

такой масштаб 8, что для всякого Ъ^-разбиепия ж интервала [а, 6] имеет место неравенство

Тогда для любого множества а С тг имеет место неравенство

Доказательство. Пусть -гг = {(/;, Для любого г € {г : (Б, к) & &}
существует такой масштаб <5, ^ 5 на I,, что для всякого 23{;-разбиения ж^ интервала 1; имеет место неравенство
(ЛОетг,
< пк’
(2.5)
где к — некоторое фиксированное натуральное число.
Рассмотрим В^-разбиение ж = а и и щ интервала [о, 6]. Тогда
Е т-^9(1)= е /№-л {1,Ь)ел' (/,<)бсг г.{и,и)(£а (1$€щ
т//•<&= Е Е
Вычитая из первого равенства второе и выполняя оценку с использованием неравенств (2.5) и условия леммы, мы получим, что
Е (дг)-Дз(-О-СВ) //•*

В виду произвольности А; утверждение леммы доказано. □
Предложение 2.1.9. Пусть функция / : [о, 6] —> ДГ интегрируема по Хенстоку относительно базиса Л по функции д : [а, 5] —> У па [а, Ъ. Тогда неопределенный интеграл Хепстока относительно базиса Л на [а, Ь] сохраняет непрерывность, то есть из того, что в точке с € [а, 6] функция д непрерывна слева (справа) вытекает, что в т,очке с непрерывна слева (справа) функция Рдг.