Спектральные свойства дискретного периодического оператора

• Автор: Мартинес Ортис Хуан
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 60 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
Глава 2. ОБЩИЙ ВИД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Глава 3. ОЦЕНКИ
Глава 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА
Литература
Глава
ВВЕДЕНИЕ
В диссертационной работе изучается класс функций, дающих конформное отображение верхней комплексной полуплоскости на некоторую область К+(К) определенного вида, принадлежащую верхней полуплоскости. Определим область К+(Ь).
Пусть область
где п- фикцированное положительное целое число и Г;, у = 1,..., п — 1 - гиперболические разрезы, заданы соотношениями

К(И) = с и г,-,
(1.1)

и = 8Ш Лу соэЬ Г]

Глаза. 1. ВВЕДЕНИЕ

Введем обозначение
С± = {г = х + іу Є С : ±1т г > 0} для верхней и нижней полуплоскости в С.
Пусть
Кф) = С+[)К(к). (1.2)
В диссертации также рассматривается, в связи с конформным отображением С+ на область КДК), спектральная задача дискретного периодического оператора, порожденного периодической якобивой матрицей ( Д- матрицей).
Диссертационная работа разделена на четыре главы. Первая глава-это введение. Во второй главе дается обзор результатов о конформных отображениях в общем виде на некоторую область, которая представляет собой коплексную плоскость с разрезами произвольного вида. Когда разрезы вертикальны, такую область иногда называют "гребенкой". Область АД (Л), которую мы рассматриваем в диссертации, представляет собой вид гребенки. Материал, который представляется без доказательств в этой главе, был получен Б. Я. Левином и изложен подробно в его работе [4]. Во третьей главе представляются оценки, касающиеся некоторых "геометрических"характеристик области АД (/і), на которую аналитическая функция к(г) отображает конформно верхнюю комплексную полуплоскость СД. Четвертая глава посвящена спектральной задаче. Здесь рассмотривается самосопряженный ограниченный оператор в
Глава 3. ОЦЕНКИ

Пусть Н+ — тах{Hj} j = 1,..., n — 1, тогда справедлива следу-ющая
Теорема 3.2. Пусть z(k) конформно отображает область (1.2) —КЦК) на С+, такое что имеет асимптотику в бесконечности z(k) = к + Qo/k + о{1/к). A Цг)- обратная функция к z(fc). Пусть {//у}"=1, Hj = cos 2ijp7rsmh 0 < hj < oo, тогда
H+ < кЦ6Qo.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, проверим, что интеграл Дирихле Id
j j z'(k) — 1[2 dudv,
H+(A)
z(k) = x(k) + iy(k)- аналитическая функция, дающая конформно-е отображение области (1.2) K+(h) на С+, и z(k) = k + Qo/k + o[l/k), k —>• oo, может быть записан в другом виде, а именно так
JJ |Vt/>|2 К+( А)
где ф(к) = v — у {к), Im z(k) = y(fc), к = и + iv € К ЦК)- гармонична в области К ЦК). На самом деле, по определению имеем
Ц%ГЦ%)'ЦЬ>Ш-Ф-
Поставляя в последнее выражение функцию ф = и — у(к) и учьистивая конформность отображения г(к), получаем