Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках

• Автор: Тасоев, Батрадз Ботазович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 116 с.

Оглавление
Глава 1. Введение
1.1. Обзор литературы
1.2. Актуальность темы исследования
1.3. Краткое содержание работы
1.4. Основные положения, выносимые на защиту
1.5. Методы исследования
1.6. Апробация работы
Глава 2. Предварительные сведения
2.1. Вспомогательные факты
2.2. Ортосимметричные полилинейные операторы
2.3. Фремлиновское тензорное произведение
2.4. Об одном приложении двойственности Минковского .
Глава 3. Обобщенное функциональное исчисление
3.1. Определение и вспомогательные леммы
3.2. Обобщенное функциональное исчисление
3.3. Примеры
3.4. Метод огибающих
3.5. Неравенства выпуклости
Глава 4. Приложения
4.1. Неравенства выпуклости для билинейных операторов
4.2. Конструкция Кальдерона-Лозановского
4.3. Интерполяция билинейных операторов
в пространствах Кальдерона — Лозановского
4.4. Магарамово расширение билинейного оператора
4.5. Магарамово расширение полинома
Литература

Глава 1. Введение
1.1. Обзор литературы
Теория векторных решеток вместе с приложениями к различным разделам математики имеет более чем восьмидесятилетнюю историю и хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [3, 6, 8, 10, 37, 59, 60, 61, 07, 75, 76, 80, 81]. Основоположниками этой теории являются Г. Биркгоф, Л. В. Канторович, Ф. Рисс и X. Фрсйденталь.
Одним из важных методов исследования является функциональное исчисление. Понятие функции от элементов векторной решетки, введенное Л. В. Канторовичем, играет важную роль в теории полу-упорядоченных пространств и ее приложениях (см. [10, 22, 23, 25, 38, 43, 44, 51, 57, 61, 78]).
В 1950 году в монографии Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха и А. Г. Пинскера [8] было показано, что в 76-пространстве с единицей естественным образом определяются непрерывные функции <р : М2 —* К от ограниченных элементов этого пространства. В 1973 году Г. Я. Лозановский в своей работе [26] обобщил понятие функции от элементов векторной решетки. В частности, он показал, что во всяком расширенном 76-пространстве естественным образом определяются бэровские функции от элементов этого пространства. Также в этой статье был указан способ конструкции непрерывных положительно

однородных функций от элементов равномерно полной векторной решетки. Изучение таких функций называем функциональным исчислением. В монографии Дж. Линденштрауса и Л. Цафрири [61], а также в работе Дж. Л. Кривима [21], приведены многочисленные применения функционального исчисления в геометрии банаховых решеток и теории положительных операторов. Различные аспекты рассматривались в работах А. В. Бухвалова [4], Б. Море [63], Н. Нильсона и Дж. Шульги [69], Л. П. Яновского [36] и др. Отметим, что во всех работах существенную роль играли реализационные теоремы векторных решеток.
Новый подход к определению функционального исчисления был представлен в 1991 году в статье Г. Бускеса В., де Пахте и А. ван Роя [42], в котором было предложено абстрактное, без привлечения реализационых теорем, определение. Эти функции предполагались всюду определенными в МФ В то же время в ряде работ [4, 23, 25] возникла необходимость определения функций от элементов векторной решетки, определенные на конических подмножествах конечномерного пространства. В связи с этим, в 2009 году А. Г. Кусраевым в работе [58] было показано, что естественным образом определяется положительно однородная функция от элементов равномерно полной векторной решетки, если эта функция определена на коническом множестве конечномерного пространства и непрерывна на некотором коническом подмножестве последнего. Изучение таких функций называем расширенным функциональным исчислением.
В 1991 году вышла работа Р. Хейдона, И. Рено и М. Леви [49], в котором вводится понятие обобщенного функционального исчисления, с помощью которого осуществляются р-выпуклизация и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.1. Пусть X и У — векторные пространства. Пара (X ® У, <8>) называется алгебраическим тензорным произведением, если выполнены следующие условия:
(1) X <8> У — векторное пространство;
(2) ® : X х У —> X ® У — билинейный оператор;
(3) для любого векторного пространства У и любого билинейного оператора Ь : X х У —► У существует единственный линейный оператор Т : X ® У У, такой что Т о ® = 6.
Лемма 2.3.2. Для векторных пространств X и У существует единственное с точностью до линейного изоморфизма тензорное произведение (X ® У, ®).
Лемма 2.3.3. Для и = ЕГ=1Ж* ® У* € X ® У эквивалентны следующие утверждения:
(1) и = 0;
(2) Е"=1 /(я»М&) = 0 всех / е Xй И д 6 У#;
(3) Ег=1 /(^г)2/г = 0 для всех / е Xй;
(4) Е"=1 Р(Уг)ж< = 0 ДДЯ всех 9 € УЙ.
Доказательство. См. [74, предложение 1.2]. □
Следующая фундаментальная теорема была доказана Фремли-
ным в [46, теорема 4.2].
Теорема 2.3.4. Пусть Е и Р — векторные решетки. Тогда существует единственная с точностью до решеточного изоморфизма векторная решетка Е ® Р и решеточный биморфизм ®, удовлетворяющие следующим условиям:
(1) решеточный биморфизм ® порождает вложение алгебраического тензорного произведения Е ® X в Е <§> У;
(2) если С — произвольная векторная решетка, то суще-