Евклидовы структуры на узлах и зацеплениях

• Автор: Шматков, Руслан Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 136 с.

Оглавление
Введение
1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
1.1. Пространства постоянной кривизны
1.1.1. Евклидово пространство Е
1.1.2. Сфера §"
1.1.3. Пространство Лобачевского ИР
1.2. Гиперболическая геометрия
1.2.1. Группа изометрий пространства Лобачевского
1.2.2. Классификация изометрий гиперболического пространства Н
1.3. Дискретные группы движений
1.4. Фундаментальная группа
1.5. Конические многообразия
1.6. Двумостовые узлы и зацепления
2 ЕВКЛИДОВА СТРУКТУРА НА КОНИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ С СИНГУЛЯРНЫМ МНОЖЕСТВОМ ЗАЦЕПЛЕНИЕ УАЙТХЕДА
2.1. Геометрические структуры на зацеплении Уайтхеда

2.2. Фундаментальное множество для конического многообразия У(т. и) в Е
2.3. Формула объема и пзопериметрическое неравенство
2.4. Евклидова теорема тангенсов
2.5. Евклидовы теоремы синусов I и II
3 КОНИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРОЙ И ДВУМОСТОВЫЕ УЗЛЫ
3.1. Геометрические структуры на двумостовых узлах
3.2. Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двум ос товый узел
3.3. Примеры евклидовых конических многообразий
3.3.1. Евклидовы конические многообразия на узлах 7/2 и 7/3
3.3.2. Евклидовы конические многообразия па узлах 9/2 и 9/5
3.3.3. Евклидовы конические многообразия на узлах II/3 и 11/4
3.3.4. Евклидово коническое многообразие на узле 15/
4 ПОЧТИ ЕВКЛИДОВЫ МОДЕЛИ МНОГООБРАЗИЯ ФОМЕНКО-МАТВЕЕВ А-ВИКС А
4.1. Гиперболические многообразия малого объема и теорема Тёрстона-Йоргенсена
4.2. Построение почти евклидовых моделей
4.2.1. Почти евклидова модель на узле 7/
4.2.2. Почти евклидова модель на узле 7/
Заключение
Литература

Посвящается моим Родителям --Отцу Николаю Карповичу и Матери Надежде Семеновне
Введение
Элементы евклидовой геометрии начали использоваться человечеством с первых веков его возникновения на Земле.
Возникновение евклидовой геометрии относят к III в. до п. э., когда древнегреческий математик Евклид из Александрии изложил аксиомы, основные понятия и теоремы евклидовой геометрии, придав ей тем самым вид самостоятельной математической теории.
В настоящий момент евклидова геометрия является совершенной математической теорией, имеющей практическое применение почти во всех областях современной науки и техники и обладающей мощным математическим аппаратом, способным проводить научные исследования.
Развитие теории узлов неразрывно связано с развитием евклидовой геометрии.
Узлы применялись человечеством с древнейших времен. Они широко использовались во всех областях человеческой деятельности. Обнаруженные археологами древние орнаменты, содержащие в качестве элементов узлы и зацепления, насчитывают несколько тысяч лет. Кроме этого, узлы издавна упоминаются в преданиях и фольклоре различных народов мира. Хорошо известна история про полководца Александра Македонского, который, не сумев развязать узел, завязанный восточным мудрецом Гордием, разрубил узел мечем. Сюжет указанной истории даже вошел в поговорку "Разрубить гор-

где М = cot(7г/?гг), N — cot,(7т/?г), и = cos# (более подробно см. [86]).
По построению, 0 ф 0, и (2.4) эквивалентно следующему уравнению
о о M2N2 + M2 + N
Р(М, iV, м) = и — MMt2 +----------- 9 -------u + MN = 0. (2.5)
Легко заметить, что P(M.N.u) является полиномом третьей степени относительно переменной и с вещественными коэффициентами.
Найдем корень и кратности 2 полинома Р(М, N,u). В этом случае, и является также корнем производной
|-Р(М. N, и) = 3„2 - 2MNu + + + Л'2 ~ 1 = 0.

Таким образом, справедливо равенство
Р(М, N, и) = ^-P(M,N,u) = 0. (2.6)

Исключив и из (2.6) взятием результанта, получим следующее равенство, устанавливающее взаимосвязь параметров т и п
f(m,n) = -2 + 6(М2 +N2)-6(Ma + N4) + 2(M6 + N°) + 65M2N2 +
32 (М4Лг2 + M2/V4) + 26M4N4 + 5(М6Л'2 + М2Лг6) +
4(M6iV4 + M4N6) + M6N6 — 0, (2.7)
где М = cot(7r/m), Л7 = cot(7r/n).
Заметим, что равенство (2.7) эквивалентно тому, что г = 0, а это в свою очередь означает, что у : ttj (S>3 Е) —> 57/(2) является поднятием .
Для того, чтобы представить исходные матрицы S и Т в группе 50(3), используем канонический эпиморфизм е : 57/(2) —» 50(3) (см., например, [21]).
Напомним, что матрицы 5 и Т из 57/(2) имеют следующий вид: