Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов и распределение нулей многочленов, ортогональных с переменным комплексным весом

• Автор: Лысов, Владимир Генрихович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с. : ил.

1 Аппроксимации Эрмита - Паде для циклических графов
1.1 Система функций, соответствующая графу-дереву
1.2 Система функций для циклического графа
2 Сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита — Паде для системы стильтьесовских функций с весом Лагерра
2.1 Постановка задачи
2.2 Риманова поверхность
2.3 Формулировка результатов
2.4 Критические траектории
2.5 Равновесные меры
2.6 Функции второго рода и соотношения ортогональности
2.7 Постановка задачи Римана-Гильберта
2.8 Нормировка задачи Римана-Гильберта
2.9 Факторизация матрицы скачка. Раскрытие линзы
2.10 Проблема Римана-Гильберта с независящими от п скачками
2.11 Параметризация в окрестности концевых точек
2.12 Последнее преобразование. Окончание доказательства
Список литературы
Теория аппроксимаций Эрмита-Паде берет начало со знаменитой работы [31] Ш. Эрмита о трансцендентности числа е. Формальная сторона этой теории изложена в работе К. Малера [34]. Приведем одно из возможных определений.
Определение 0.1. Для набора / = (/і, /2 /г) степенных рядов с центром в бесконечности:
и мультииндексап = (пх пг) 6 аппроксимациями Эрмита-Паде

называются рациональные функции с общим знаменателем П„^ такие, что
Такие рациональные функции всегда существуют. Их нахождение сводится к решению однородной системы |п| линейных уравнений относительно |п| + 1 неизвестных коэффициентов многочлена <2„. Многочлены Дщ равны полиномиальным частям разложений в степенной ряд С центром В бесконечности. Если степень любого такого <5п, С необходимостью равна |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае, аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.
Вопросы анализа (о сходимости и асимптотике) для аппроксимаций Эрмита-Паде впервые были поставлены Е. М. Никишиным в конце
с^(3„ < |п| := пН Ь Пг,
и выполнены условия интерполяции в точке г
1970- х годов. Наиболее полные результаты получены для систем марковских функций:
где /г/ — конечные положительные борелевские меры и > 0 п. в.
по мере Лебега на А]. Заметим, что для таких функций полином удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности
Хорошо известны два класса марковских функций, для которых аппроксимации Эрмита-Паде определены единственным образом. Это системы Анжелеско и Никишина.
Системой Анжелеско называется система марковских функций (0.1), для которой отрезки А] попарно не пересекаются. Из соотношений ортогональности (0.2) следует, что многочлен <2„ имеет пз нулей на отрезке для любого і = 1,... ,г. Таким образом, его степень равна |п| и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно. Первый результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде таких систем был получен В. А. Калягиным [10] для специальных весов типа Якоби. Случай произвольных весов был разобран А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в работе [5]. Предложенный ими метод задачи равновесия векторного логарифмического потенциала лег в основу изучения асимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде. Этот метод был развит ими в работах [6] и [7]. Одним из выводов работы [5] было то, что области сходимости и расходимости аппроксимаций существенным образом зависят от "геометрии" задачи, т. е. взаимного расположения концов отрезков А
(0.1)

эквивалентны свойству симметрии (Б-свойству):
д -Шх{г) = ^-Ух(г), г Е А, (2.65)
дп+ дпл гч
И"*(г) = -х—УУЦг), г еГ, (2.66)
дп+ дп_
дп+ “ дпгде Л- и Л производные вдоль нормали справа и слева от кривых,
]Ух(г) = 2Ух(г) -У>1{г)+ (д^ег, (2.67)
= 2 У^(г)-Ух{г) + (р2-(д^ег. (2.68)
2.6 Функции второго рода и соотношения ортогональности.
Введем функции второго рода
, . п~а Г°° Ых)хае-^Чх . ,
Гпу(г) = — / , у = 1,2, 2
27гг х - г
которые определены с точностью до нормировки 1ц(х). Пусть 7 произвольная кривая вокруг положительной полупрямой с горизонтальными асимптотами в бесконечности (см. рис. 7). В следующем предложении показано, что функция гущ удовлетворяет соотношениям ортогональности на 7.
Предложение 2.10. Имеем,
! гя&^е-УЬ-ЫЧг = п~а 1Г1{х)хк+ае-р2Чх, к Е Ъ+. (2.70) В частности,
[ г^{г)гке~^2~р{)Чг = 0, к — 0 п2 — 1. (2-71)