О следах дифференцируемых функций на группах Карно

• Автор: Пупышев, Илья Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 152 с.

История вопроса

Содержание диссертации

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Группы Карно и функциональные пространства

1.2 О следах функций из пространств Соболева IV1 на группах Карно

1.3 Интегральные неравенства

1.4 Интерполяционные теоремы

2 Теоремы типа Уитни о продолжении дифференцируемых функций

2.1 Формула Тейлора на группах Карно

2.1.1 Свойства дифференциальных операторов

2.1.2 Формула Тейлора

2.2 Теоремы тина Уитни для пространств Липшица
2.2.1 Пространства Липшица
2.2.2 Свойства многочленов тейлоровского типа на группах
Карно
2.2.3 Декомпозиция Уитни
2.2.4 Оператор продолжения
2.2.5 Доказательство теоремы о продолжении
2.2.6 Теорема о продолжении для пространства Липшица с модулем
непрерывности более общего вида
2.3 Обобщение классической теоремы Уитни
на группах Карно
О граничных значениях дифференцируемых функций
3.1 Пространства и //^,(11)
3.1.1 Внутренние метрики
3.1.2 Эквивалентные нормировки
3.2 Граничные значения дифференцируемых функций
3.2.1 Пополнение метрических пространств
3.2.2 Существование оператора следа
3.2.3 Существование оператора продолжения
3.3 Продолжение дифференцируемых функции
за границу области определения
Следы функций из пространств Соболева на множествах Альфорса групп Карно
4.1 О (/-мерах Альфорса
4.2 Ядро Бесселя и бесселевы потенциалы
4.3 Теорема о следах
4.4 Теорема о продолжении
4.4.1 Декомпозиция Уитни и оператор продолжения
4.4.2 Леммы
4.4.3 Доказательство теоремы о продолжении
4.5 Продолжение функций классов 1Гр(П) за границу области
4.5.1 Леммы
4.5.2 Оператор продолжения
4.5.3 Аппроксимация С°°-гладкими функциями
4.6 Граничные значения функций классов IГр(П)
Краевая задача для полисубгармонического уравнения
История вопроса
В конце 30-х годов прошлого века в широко известной серии работ С. Л. Соболев определил понятие обобщенной производной и исследовал классы функций, имеющих обобщенные производные класса Ьр до заданною порядка. Для этих классов, получивших названия пространств Соболева Ур, он установил теоремы вложения, которые нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнении и других областях математики. В дальнейшем в работах С. М. Никольского, О. В. Бесова, И. Стейна и других математиков была развита теория вложения классов функций.
Необходимость введения пространств с обобщенным дифференцированием была продиктована задачами теории уравнений в частных производных. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений приводит к необходимости интерпретировать граничные значения или следы функций! на множествах меньшей размерности.
Существует несколько различных подходов к определению следов. Один из них основан на теореме Лебега о дифференцировании. В этом случае след функции на множестве ненулевой емкости определяется как предел средних значений функции по шарам, радиусы которых стремятся к нулю. Другой способ определения следов, впервые предложенный в работе Н. Ароншайна, Ф. Муллы и П. Шентыцкого |48|, основан на интегральных представлениях функций. Ещё один подход использует приближение функций из рассматриваемых пространств гладкими функциями. В этом случае следом функции называется предел последовательности следов гладких функций, сходящихся к дайной функции в норме исходного пространства.
Вопрос корректной постановки краевой задачи приводит к задаче описания проОпределение 2.6. Набор функций {/Лад^і заданных на F, принадлежит пространству Липшица Lip (к + и, F), если существует константа М, для которой выполняется (для всех d(J)
fj{x) ^ М; Rj{x, у)| < Мр (y~1x)k~d(J) ы (р (у~хх)) для любых х, у є F, (2.32)
где Л,/ определяется формулой (2.14).
Замечание 2.5. При ш (<5) = <57_fc, к < 7 < к + 1 пространство Lip (fe + и, F) совпадает с Lip (7, F).
Замечание 2.6. При к = 0 условие (2.32) примет вид
ІЛЛІ < Af; |/(у) - Дх)| < Ми (р (і/-1 Л) А любых х,у Є F.
Теорема 2.3. Существует линейный оператор продолжения Ек, непрерывно отображающий пространство Lip (к + ш, F) в пространство Lip (к + ш, G), причем норма оператора ограничена постоянной, не зависящей от замкнутого множества F С G, т. е. если набор функций Є Lip (k + ш, F), mo f = £*({/./}) e
Lip (k + to, G), причем
ll/ll Lip(fc+W,G) ^ C ll{/j,}lluP(jt+u,T') >
где С не зависит от множества F.
Эта теорема является обобщением теоремы 2.2, и ее доказательство почти дословно повторяет доказательство этой теоремы. Поэтому мы приведем лишь формулировки основных вспомогательных утверждений.
Лемма 2.7. Если функция / непрерывна и ограничена в G и имеет непрерывные ограниченные производные XJf до порядка k (т. е. d(J) ^ к), причем для d(J) = к XJf Є Lip (и), G), то / Є Lip (А: -f-oi,G).
Лемма доказывается аналогично лемме 2.1.
Лемма 2.8. Справедливы следующие неравенства:
| f(x) - Р(х,а)| ^ АМр [а~1х)к из (р (я_1.х)), х Є G, а Є F;
XJf(x) — Pj(x,a)I < АМр (а~гх)к ш (р (а_1х)), х Є G,a Є F, d(J) ^ к XJf(x) < AM, х Є G, d(J) < к;
XJf{x) < АМ5{х)~1ш {5{x)), x є CF, d{J) = к + 1.