Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов

• Автор: Шестакова, Ольга Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Глава 1. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса $т

§1.1. Вводные замечания

§ 1.2. Операторы класса

§ 1.3. Приближение классов//1 и IV1 Н] операторами класса б*2. Непериодический случай

§ 1.4. Класс 5*4

§ 1.5. Классы 52т. Оценка скорости приближения по порядку

§ 1.6. Приближение функций классов Я1 и IV1 Н] операторами класса Л в периодическом случае

§ 1.7. Тригонометрические операторы Баскакова

Глава 2. Двумерные аналоги некоторых операторов класса Sm

§ 2.1. Общие замечания

§ 2.2. Двумерные аналоги операторов класса 5]

§ 2.3. Случай положительности одного из ядер. Общие соображения

^ § 2.4. Двумерные аналоги операторов классов £2 и £4.
Случай положительности одного из ядер
§ 2.5. Двумерные аналоги операторов класса Б2. Случай, когда оба ядра меняют знак
§ 2.6. Двумерные аналоги операторов класса £2 в периодическом случае
§ 2.7. Двумерный вариант операторов Баскакова
Заключение
Литература

Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII-XIX вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. Л. Чебышева, Л. Л. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. М. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.
Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида
\1п (/(/), х)-Лх)1±а„ (/) -> О,
где /(.т) - приближаемая функция, Ь„ - приближающая последовательность линейных операторов. В 60-70 гг. П. П. Коровкиным, а впоследствии Ю. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов /.„ класса Х,„.
Цель работы - развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкина с применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.
Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам Б2 и 5'4. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим классам 6,„. Существенно новым является рассмотрение двумерных аналогов операторов класса Л%, т. к. подобные исследования ни кем ранее не проводи-

. і Л .-,111,
N111 ~ л ЯІП " (И
м„(/0),х) = а- /о+х) 7—2 (і.і7)
7771 * / I 7 7Г

■ 2 П ' 2Л
яш - соя / - соя
21 к 11 )
Ядро оператора Л/„ имеет два простых нуля в точках / = ±

Таким обратом, -здесь представлен частный случай операторов, рассмотренных в предыдущем параграфе.
Далее приводятся оценки приближения этими операторами функций классов Н, и И/ХІі,
Заметим, что используя индивидуальные свойства операторов М„ можно получить более тонкие оценки, чем те, которые составляют содержание данного параграфа. Ограничимся (в целях иллюстрации) лишь непосредственным применением теорем 1.8 п 1.9, а затем, для сравнения, теорем 1.2 и 1.3.
Как известно (см. [ 12]. [6]), М„( I д)=1, Л / „ ^ б і п2 ~ Для М» вс'

лйчнна /;„=—. Следовательно, из теорем 1.8 и 1.9 вытекает следующее ут-п
верждение.
Теорема 1.10. Пусть М„: С2.т —> Сі.т - операторы, определенные согласно (1. 17). Тогда для /(I) є іірм 1 выполняется
| М „ (/(О. -V) - ./(дг)1 < Шли ~!1 + 0(„), а для /(!) є И/1//|/, выполняется
||Л/ІІ(/(0,.-)-./'(д-)|| < М(1 + 0,25/г2 )4л-2/;-2 + 0(п'4).
(Заметим, в первой из приведенных оценок величина 2лМА(п)п'1 фигурирует как ()(п'у)).