Оценки равномерных и интегральных норм средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Лежандра в связи с некоторыми вопросами теории приближения

• Автор: Коркмасов, Фуад Муэддинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 96 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава I. Предварительные сведения
§ 1. Некоторые понятия из теории функции и функционального
анализа
§ 2.0 многочленах Якоби
§ 3.0 числах Кристоффеля
Глава II. Об оценке Ьр [-1,1] -нормы алгебраического многочлена
по его значениям в узлах "почти" равномерной сетки
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Вспомогательные леммы и оценки
§ 3.Ограниченность сверху величины Трц{п,£1ы)
Глава III. Ограниченность в С[-1Д] нормы средних Валле-Пуссена
дискретных сумм Фурье-Лежандра
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Ограниченность нормы средних Валле-Пуссена дискретных
сумм Фурье-Лежандра
§ 3. Ограниченность максимума алгебраического многочлена на отрезке [-1,1] по его значениям в нулях многочлена Лежандра
Глава IV. Оценка Г [-1,1] -нормы алгебраического многочлена
по его значениям в нулях многочлена Лежандра
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Вспомогательные утверждения
§ 3. Оценивание величин ур ч(т,И) и Трц(т,Щ
Список литературы.

Введение
Актуальность темы. Ортогональные многочлены и ряды Фурье по этим многочленам находят широкое применение в различных областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам и в других задачах. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве точек (сетках) с помощью последовательностей линейных операторов - дискретных частных сумм Фурье, дискретных сумм Фейера, Валле-Пуссена, определенных по соответствующей системе ортогональных многочленов. Кроме того, представляют интерес вопросы сходимости частных сумм Фурье и их средних к разлагаемой функции. Отсюда, в свою очередь, возникают задачи исследования поведения норм операторов Валле-Пуссена в пространстве С[-1,1]. В частности, в работах [29], [30] были , изучены нормы операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби и для дискретных сумм Фурье-Чебышева в пространстве С[-1,1].
Во многих вопросах теории приближения функций и численного анализа приходится рассматривать взаимосвязь между различными нормами в линейных пространствах алгебраических многочленов. В частности, в работах [4], [9], [18], [23], [31], [41] изучалась связь 1Д<я,Ь]-нормы многочлена и его дискретной нормы, определенной на конечной равномерной системе точек отрезка [а,Ь].

Объект исследования. В работе изучаются средние Валле-Пуссена (операторы Валле-Пуссена) для дискретных сумм Фурье-Лежандра и вопрос об оценке 1Д-1,1]-нормы алгебраического многочлена по его значениям на конечной системе точек отрезка [-1,1].
Цель работы:
1) доказать ограниченность норм операторов Валле-Пуссена, действующих в пространстве С[-1,1];
2) получить оценку максимума алгебраического многочлена на [-1,1] по его значениям в нулях многочлена Лежандра;
3) оценить 1Д-1,1]-норму алгебраического многочлена по его значениям на конечной сетке отрезка [-1,1].
Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функции и функционального анализа, а также методы теории ортогональных многочленов.
Научная новизна. С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена равномерно ограничены в пространстве С[-1,1] некоторой положительной константой. Как следствие предыдущего утверждения доказано, что, если значения алгебраического многочлена на конечной системе точек отрезка [-1,1] - нулей многочлена Лежандра - ограничены в совокупности, то и его максимум ограничен на [-1,1] некоторой положительной константой. Получены оценки между ЬД-1,1]-нормой алгебраического многочлена и дискретными нормами, определенными на конечной системе точек отрезка [-1,1]. Кроме того, получены оценки приближения непрерывной функции средними Валле-Пуссена для сумм Фурье-Лежандра.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении поведения норм операторов Валле-Пуссена в других функциональных пространствах, а также в теории приближения. Результаты глав II и IV могут быть использованы для дальнейшего изучения

% сЬс
я1/4 с(А.,а)
(1_,у/в (1_,у/«из/4_

4 + с(, а)
.(/-О14 о-о5/

С.«’/2+С%?«5/

< с(Х, а).

Для доказательства (2.3.24), разобьем интервал [*2Д] на три интервала
1 -ь / 1 + /

1 /
и — ,1 п
Г25л:;<1 2Су /
—2 Ь£^.+
А: ' +1 х ■ — /
4*0 ,
~ I - -Ах- + X —^Ах,. <
к1 1+1 ,1 1-х,- . 1 . „Х( -/
2 1 п
1--441
“1/2 X / Л: И 4+1 Ч/ “О

5-4*4 + 42 I
,5,4 2 1/2 ^ /, 15/4
. П +1 ,111-Х,.
ь<^,< • . 5 2 / —<х,<1—- 5
-- ./ о Т ' „
-Ах ,■ +
+ I -^2^-4->4^1Ху_
(1+У2 Л 1 С
_ (х-/Г+(/2-05/4^“1.

1—1/М
г иХ о ^
-------г—+ Я
,4(1 -4"

V с1х
2 X - / Г 1
1-1/" 11 - - - /

4(,2 - + <ЧЧ1 + [4„Р + <•(),а)п»

1п ——— + с(А, а)
1-у-*

4—П , ,,„ + с(к,а)п1'

+ с(А,ст) < с(Х,а)-
Утверждение 2.3.1 доказано.
Принимая во внимание здесь и далее оценки (2.3.20), (2.3.21), получаем