Геометрические характеристики функциональных банаховых пространств

• Автор: Скачкова, Ольга Петровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 90 c. : ил

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

СВЕДЕНИЯ

Глава II. ВЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ I. Отсутствие связи индексов Бойда с

вложением в шкале пространств 1_р<^

§ 2. Верхние и нижние оценки в идеальных

банаховых пространствах

§ 3. ( р ) - выпуклость банаховых

решеток

Глава III. ОЦЕНКИ РАССТОЯНИЯ БАНАХА-МАЗУРА МЕЖДУ

КОНЕЧНОМЕРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
Глава IV. КОНСТАНТЫ СИММЕТРИЧНОСТИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ I. Определение величин ©„.(£) и Кп(в) ,
их свойства
§ 2. Константы симметричности пространств
1_ (1< и пространства

Орлича Бм (о, 1)
ЛИТЕРАТУРА

Теория банаховых решеток представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются банаховыми решетками (например, пространства 1~р (Т,£ ./*) , Лоренца, Марцинкевича, Орлича) при том или ином естественном порядке. Теория банаховых решеток служит мощным средством исследования конкретных пространств.
Важным классом банаховых решеток являются симметричные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. /19/, /34/ ). Геометрия банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств долгое время оставалась неисследованной. Но последние 10-15 лет ознаменовались крупными достижениями в этой области. Итоги этих исследований приведены в ряде монографий и обзорных статей /4/, /15/, /34/, /39/. Результаты, связанные с геометрией симметричных пространств находят применение в теории интерполяции и теории ортогональных радов, играют все возрастающую роль в теории вероятностей.
Возникающие в рамках абстрактной теории банаховых решеток понятия и свойства вызывают естественное желание выяснить, какие из симметричных пространств этими свойствами обладают. Решению некоторых задач, относящихся к геометрической теории симметричных пространств, и посвящена диссертационная работа.
Основное содержание диссертации изложено в главах П - 1У.
Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Глава II посвящена изучению некоторых геометрических свойств банаховых решеток и, в частности, симметричных пространств. Шимогаки в /41/ показал, что существует симметричное функциональное пространство Е , фундаментальная функция которого такая же, как у пространства , а один из индексов Бойда тривиален. В первом параграфе строится симметричное пространство (сокращенно СП) £ такое, что Е с для любых наперед заданных оо , 1 < р < оа ,а его индексы
Бойда тривиальны. Тем самым показано отсутствие связи индексов Бойда СП Е с его вложением в шкале пространств 1~р<^ .
Цафрири в /45/ исследовал связи между понятиями типа (соответственно, котипа) банахова пространства X и нормированного типа (соответственно, нормированного котипа) и показал, что *ир{р:Х- типа р 3 = 4ир1р ; X - нормированного типа р] ;
£и| {р: X - котипа рЗ = {р : X ” нормированного котипа р] , но существуют банаховы пространства, которые имеют нормированный тип р , 1 * р< & (соответственно, нормированный котип с^, для < е*3 ), но не имеют типа р (соответственно, котипа ). Для р =2 эти понятия совпадают
аналогии, во втором параграфе вводятся понятия нормированной верхней и нормированной нижней р - оценки ( 1 < р < о3 ) банаховой решетки (сокращенно БР) X , доказывается, что если БР X удовлетворяет нормированной нижней р -оценке, то сопряженная к ней БрХ удовлетворяет нормированной верхней р -оценке, где р + р( - £ (предложение 3.1). Затем исследуется
связь между понятиями верхней (нижней) р -оценки и нормированной верхней (нормированной нижней) р -оценки банаховаидеального пространства (сокращенно БИП). Справедлива
Теорема 2.2. Пусть X -БИП, удовлетворяющее нормированИ П1Р •*
(?«[)'
Ф:) [лфиФ I
Таким образом, первое из неравенств (2.28) полностью доказано Доказательство предложения 2.5. Пусть БРХ удовлетворяет верхней р -оценке и пусть ~ последовательность независимых случайных величин на некотором вероятностном пространстве (ффуц ) такая, что
^({_С0 6&: (^)| > А ] ) - у — ).
В силу предложения 1.2. найдется постоянная М <■ такая,
что для каждого а> £ О. и любых ,. •., еХ имеет
место неравенство х
II V 1{;МХ;| || < м{I Ц;МХсй')[ (2.37)
Далее, для /а £ 1Я справедлива оценка

IIа|| $ (1+ &гиХиа||
р р,<»
Действительно, 1_
,а, =(|сСг( ф «* (^){1

Используя данное неравенство, (2.28) и (2.37), получаем