Аппроксимации операторов с частными интегралами и их приложения к интегральным уравнениям

• Автор: Барышева, Ирина Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 109 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

§1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Пространства непрерывно дифференцируемых функций

1.2. Пространства непрерывных и частично дифференцируемых функций многих переменных

1.3. Пересечение и сумма пространств С(С Р'>)

§2. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ

2.1. Основные определения

2.2. Непрерывность линейного оператора с частными интегралами в С(С®) и в некоторых конструкциях этих пространств
2.3. Условия непрерывности линейных операторов Вольтерра с частными интегралами
2.4. Непрерывность линейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
§3. ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ
3.1. Аппроксимации общих классов операторов
3.2. Аппроксимации операторов Вольтерра
3.3. Аппроксимации операторов Вольтерра-Фредгольма
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЧАСТИЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
§4. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ
§5. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЯДЕР

§6. ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И РЕЗОЛЬВЕНТЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
6.1. Условия однозначной разрешимости
6.2. Резольвента и другие условия однозначной разрешимости
§7. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ
7.1. Интегральные уравнения с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных
7.2. Однозначная разрешимость уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма
7.3. Примеры математического моделирования уравнениями с частными интегралами некоторых задач механики сплошных сред
7.4. О моделировании уравнениями с частными интегралами некоторых задач теории упругости
ГЛАВА III. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
§8. МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ВВЕДЕНИЕ
1. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред [2, 3, 4, 5, 38, 80, 82], теории упругости [20], уравнений математической физики [29, 66] и других задач [18, 20, 65, 77, 79] являются частные случаи интегрального уравнения
где I — тождественный оператор, К = C + L + M + N, операторы С, L, М, N представляются в виде:
данные измеримые по совокупности переменных функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Уравнение (1) (оператор К) обычно называют уравнением (оператором) с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция х интегрируется по части переменных. Свойства оператора К имеют принципиальные отличия от свойств обычных интегральных операторов. В частности, оператор К не является компактным даже при c(t, s) = 0 и в общем случае непрерывных ядер 1,т,п. Более того, при [а, 6] = [с, d — [0,1], единичном ядре I и нулевых функциях с, т и п К — не интегральный, а I — К — не нётеров операторы.
Линейным операторам и уравнениям с частными интегралами и их приложениям посвящены монографии [38, 41, 49, 54, 82]. Разрешимость, свойства уравнения (1) и свойства оператора К определяются пространствами, в которых они рассматриваются. Оператор К и уравнение (1) в идеальных пространствах исследовались Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным,
(/ - К)х = /,

(Nx)(t, s) = n(t, s, т, t,r Є [а, 5], s, а Є [с, d], c(t, s), l(t, s, r), m(t, s, er), n(t, s, т, а) и /(£, s)

д1п(а, в.т.а) (і — а)г п(М,т,<т) = £ да "

где г > р, то операторы К и К действуют в 17, причем

(г-*! _,Л! +ВШ2С:

-г—к
(г + 1 —?)! ' ~ 3 (г + 1 — і + к)
і=0 ' >’ і=0 к=О у и ’
□ Согласно следствию 2.1 операторы К и К действует в 17. Разложим функции I, т и п в степенные ряды по степеням Ь — а. Получим
*(М,т) =
дг1(а,з,т) (і — а)г

тп(і,8,а)
дгт(а,з,а) (і — а)*

п(М,т,<т) =

<9гп(а:, я, т, а) (і — а)1

При этом
ЕД А1
Ціле - ілеЦу = вир У, 77 / [/(і, в,т) - І(і,в,т)]а;(т,в)гі7

<8ир
Це =0 0
ГІГ <

< ЦжЦс/эир

сД дЧ(а,з,т) (і — а)1
дії
г=г+1

Докажем, что ряд

г=г+1
дг1(а,з,т) (і — а)1

(3.4)
сходится абсолютно. Для ряда, составленного из модулей его членов, выполняется неравенство

г=г+1
дг1(а,з,т) (і — а)г

(1/2)'

г—г+1