Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций

• Автор: Болотин, Иван Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 106 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1. Основные обозначения и понятия
1.2. Некоторые вспомогательные предложения
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам
для бианалитических и полианалитических функций
ГЛАВА И. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГА И ПОЛУПЛОСКОСТИ
2.1. Первая основная краевая задача типа Римана
с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга
2.2. Вторая основная краевая задача типа Римана
с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга
2.3. Первая основная краевая задача типа Римана
с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости
2.4. Вторая основная краевая задача типа Римана
с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости
ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ И ПЛОСКОСТИ СО ЩЕЛЯМИ
3.1. Первая основная краевая задача типа Римана
в классах бианалитических функций в случае полуокружности
3.2. Вторая основная краевая задача типа Римана
в классах бианалитических функций в случае полуокружности
3.3. Первая основная краевая задача типа Римана
в классах бианалитических функций в плоскости со щелями
3.4. Вторая основная краевая задача типа Римана
в классах бианалитических функций в плоскости со щелями
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.
В настоящее время теория линейных граничных задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [17], И.Н. Векуа [18], Н.П. Векуа [19], Ф.Д. Гахова [23], И.И. Данилюка [25], Э.И. Зверовича [28]-[30], Г.С. Литвинчука [38]-[40], С.Г. Михлйна [42], Н.И. Мусхелишвили [45], Б.В. Хведелидзе [70], Л.И. Чибриковой [71] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.
В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др;) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного.
Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного являются бианалитические функции.
Определение 0.1. Функция (г) = С7(ж,у) + гУ(х,у) называется бианалитической в области П комплексного переменного £ = х + іу, если она в И имеет непрерывные частные производные по ж и по у до второго порядка включительно (т.е. У(г) £ С2(Р)) и удовлетворяет там уравнению

д 1 (д . д , . '
где — — - т;—Ь ~ дифференциальный оператор Коши-Римана.
их 2 дх , ау)
Это определение принадлежит П. Бургатти [74].
Действительная и мнимая части бианалитической в области Л функции Л (г) = и(х,у)+іУ(х,у) являются бигармоническими в этой области, т.е.
ДДЛ(а:,у) = 0 и ААУ(х,у) = 0, д~
где Д — —+ тг7 ~ оператор Лапласа (см., например, [9], [23]).
(Уші/ С/ц
Важно отметить, что впервые бианалитические функции зародились в математической теории упругости благодаря основополагающим работам Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили (см., например, [33],

[44]). В частности, Г.В. Колосовым было обнаружено, что эффективным средством решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции.
Основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для бианалитических функций, был выполнен в течение трех последних десятилетий XX века математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для бианалитических функций внесли A.B. Бицадзе, В.А. Габринович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, Б. Дамьянович, В.И. Жегалов, K.M. Расулов, B.C. Рогожин, И.А. Соколов, Н.Т. Хоп и другие.
Известно (см., например, [59]), что краевые задачи для бианалитических функций в зависимости от условий, налагаемых на искомые функции, делятся на три группы:
1) непрерывные задачи - от искомых функций требуется непрерывность вплоть до границы;
2) кусочно-непрерывные задачи - допустимо нарушение непрерывности искомых функций лишь в конечном числе точек границы;
3) разрывные задачи - все остальные.
В настоящее время в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, теория краевых задач для бианалитических функций приобрела практически завершенный вид (см. [55] и имеющуюся там библиографию). Однако, в случае разрывных коэффициентов и областей, границами которых являются разомкнутые кривые, основные краевые задачи в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались неисследованными.
К таким задачам относятся следующие две классические краевые задачи типа Римана.
Пусть L - произвольный гладкий (замкнутый или разомкнутый) контур в плоскости комплексного переменного Z — х + iy, уравнение которого имеет вид: t = x(s) + iy(s), 0 < s < I, где s - натуральный параметр.
Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z)
= {F+(z), F~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t G L следующим краевым условиям:

оценку (1.56). И пусть кривая, соединяющая эти точки, является прямолинейным отрезком. Тогда получим,
/ ¥>(СЖ < / ИСЖ1 < const f = constYZ

Из последнего неравенства следует, что функция Ф(г) ограничена вблизи узла с. Теорема доказана.
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций
Первой работой, относящейся к краевым задачам для бианалитических функций, была статья B.C. Рогожина [61], в которой исследовалась краевая задача типа Гильберта в случае окружности.
Вскоре после этого были опубликованы работы М.П. Ганина [22], где впервые были сформулированы основные краевые задачи типа Гильберта в классах полианалитических функций. В конце 60-х годов XX века была опубликована серия работ И.А. Соколова [64]—[67], в которой впервые были поставлены и подробно исследованы краевые задачи типа Римана для полианалитических функций. Основной результат, полученный И.А.Соколовым относительно исследованных им задач, состоит в том, что в общем случае решения этих задач сводятся к последовательному решению п обычных задач Римана относительно неизвестных аналитических функций. Этот результат, а также результат М.П. Ганина относительно задач типа Гильберта, есть следствие того, что изученные ими задачи относятся к задачам треугольного вида [55].
Наиболее интенсивно теория классических краевых задач типа Гильберта, Римана, Карлемана, Маркушевича в классах бианалитических функций и их обобщений стала развиваться в течение последних тридцати лет как в странах СНГ, так и в других странах (Китай, Югославия, КНДР). Важным вкладом в это направление являются работы И.А. Бикчантаева [10]-[11], В.А. Габриновича [20]-[21], В.И. Же-галова [26]-[27], K.M. Расулова [49]-[55] и др.
Изучению краевых задач для полианалитических и метаанали-тических функций посвящены работы Анищенковой Н.Г. [1]-[8] и Б.Ф.Фатулаева [69].
Особенностью всех выше перечисленных работ является то, что в них рассматривают краевые задачи со сдвигом или без него в классах бианалитических функций и некоторых их обобщений в случае