Интегральные характеристики конформных отображений

• Автор: Каюмов, Ильгиз Рифатович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 221 с.

1 Оценки интегральных средних конформных отображений общего типа

1.1 *-спектр интегральных средних и его сравнение со спектром интегральных средних

1.2 Нижние оценки для спектра интегральных средних

1.3 Об однолистности функций вида /(г) = / Ф(£П)Ф

1.4 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма

1.5 Закон повторного логарифма и граничные свойства конформных отображений

1.6 Оценки коэффициентов однолистных функций

1.7 Об аналитическом неравенстве Пуанкаре

2 Оценки интегральных средних в различных подклассах однолистных функций

2.1 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма для лакунарных рядов
2.2 Спектр интегральных средних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов г4 + с
2.3 Оценки интегральных средних полиномиальных произведений Рисса
2.4 Теорема искажения и гипотеза Бреннана, для лакунарных рядов

2.5 Доказательство гипотезы Бреннана в случае, когда Ч*/'//) »0
2.6 Точные оценки интегральных средних для трех классов областей
2.7 Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций
Граничное поведение степенных рядов в единичном круге
Теоремы сравнения изопериметрического типа для моментов компактных множеств
В диссертации создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области, а также установлена связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма.
Оценки интегральных средних конформных отображений занимают ведущее положение в геометрической теории функций комплексного переменного. В качестве примера укажем теорему площадей, доказанную Гронуоллом [79], позволившую получить ряд точных оценок различных функционалов в классе однолистных функций (см., например, [34]). Отметим также, что в силу интегральной формулы Коши проблемы коэффициентов однолистных функций являются по-существу проблемами интегральных средних. Начало бурного развития этого научного направления связано с работами Кебе, Бибербаха и Левнера.
Одной из центральных проблем геометрической теории функций в XX веке стала гипотеза Бибербаха о том, что |а„| < п, где ап -коэффициенты Тейлора функций из класса й'. Напомним, что класс 5 состоит из однолистных и голоморфных в круге 0 = {г : г < 1} функций /, удовлетворяющих соотношениям /'(0) — 1 = /(0) = 0. Литтлвуд [91] получил точный порядок роста интегральных средних

5 7Г7й5Х9"'1ЦЛг,,)/(Мг',')]1 * +СХ)'
1 'Л 5
Ограниченность функции д следует из того, что все /в* ограничены. Аналитичность функции д следует из теоремы Вейерштрасса, поскольку последовательность Д о /? о /?2 о • • • о /9п сходится равномерно внутри Ю.
Итак,
00 / / 1 1/«‘+1 + 1/9Дс+2+"
00 / / 1 1/((7-1)9'')
* Ь
а, ^/кк) т ^'"ОТТГ’ Ю‘
Следовательно,
* — 1/((в-1)«*)
« /к‘) ’
00 00 / 1 Л0?-1)
1п^)»ЕЕамм)
А:=0 7=1 4
00 1пл'М = ЁЕ“;(м)
1 П 1 = 1
Определим функцию /г из тождества
00 9-1 / ^ з/(ч~1)

&=0 7
В силу теоремы 2 (п. 1.1.) /ДД) > /?£(£). Имеем
®*>= Т7Т ййЬи § §1,1,0 ЬЛГ)',‘/(,_1’)
/с—I) ]