Билинейные операторы в векторных решетках

• Автор: Табуев, Сослан Наполеонович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение з
0.1. Обзор литературы
0.2. Актуальность темы исследования
0.3. Краткое содержание работы
0.4. Основные положения, выносимые на защиту
0.5. Методы исследования
0.6. Апробация работы
0.7. Вклад соавторов
Глава 1. Билинейные операторы в векторных решетках
1.1. Предварительные сведения
1.2. Порядковое исчисление регулярных билинейных
операторов
1.3. Формулы проектирования на некоторые полосы
Глава 2. Билинейные операторы, сохраняющие дизъюнкт-ность
2.1. Операторы, сохраняющие дизъюнкт!юсть
2.2. Полидизъюнктные операторы
2.3. Разложение атомического оператора
2.4. Характеризация размазанных операторов
Глава 3. Мультипликативное представление билинейных
операторов
3.1. Строение решеточных биморфизмов
3.2. Операторы взвешенного сдвига
3.3. Мультипликативное представление
Литература

Введение
0.1. Обзор литературы
Основы теории регулярных операторов в -пространствах были заложены в докладе Ф. Рисса на Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 [74] и в работе Л.В. Канторовича 1936 года, см. |8|. В этих же работах была сформулирована и доказана — сначала для функционалов (Рисс), а затем для общих регулярных операторов (Канторович) — фундаментальная теорема Рисса — Канторовича (1.1.1).
Теории линейных операторов в векторных решетках с приложениями к разным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 4, 7, 13, 33, 34, 64, 67, 75, 81, 86).
Первая фундаментальная монография по теории полуупорядочепных пространств (векторных решеток), написанная в 1950 г. Л.В. Канторовичем, Б.З. Вулихом и А.Г. Пинскером [7|, до сих пор является энциклопедическим изложением основ теории линейных операторов. Более поздняя (1961 г.) и более краткая монография Б.З. Вулиха [4| содержит изложение основных фактов о теории линейных операторов в векторных решеток, но в идейном и тематическом плане примыкает к предыдущей монографии.
Монография В. Люксембурга и А. Цаапепа [64) посвящена подробному изложению алгебраической теории векторных решеток почти без рассмотрения нормы, функционалов и операторов. Монография А. Цаанена [86], являющаяся продолжением предыдущей монографии содержит разнообразный и интересный материал по теории операторов и функционалов в

векторных решетках и банаховых решетках. Среди которых: общая теория порядково ограниченных операторов, интегральное представление операторов, теоремы о структуре сопряженных пространств, проблемы мажора-ции для компактных операторов, ортоморфизмы и /-алгебры.
Монография Шефера [75| содержит разнообразный материал по теории векторных решеток и банаховых решеток.
В монографии 1978 г. Г.П. Акилова и С.С. Кутателадзе [2] изучается выпуклый анализ в АТ-пространствах, в которых вводится много новых понятий для множеств порядково ограниченных операторов.
В небольшой монографии Х.-У. Шварца [81] изложены основные факты о порядково ограниченных операторах, а также нетрадиционный материал о (р, (-выпуклых и вогнутых операторах.
Значительным вкладом в теорию является монография К. Алипрантиса и О. Вуркиншо [33], изданная в 1985 г., которая содержит в основном результаты, полученные после 1978 г., по проблеме мажорации операторов. При этом излагается техника, связанная с ортоморфизмами, приближе-' нием операторов суммами «осколков» других операторов, факторизации операторов. Многие результаты монографии принадлежат авторам.
В монографии А.Г. Кусраева [13], которая является расширенным и переработанным вариантом опубликованной на три года раньше монографии [56], представлены важнейшие результаты о мажорируемых операторах, полученные после 1980 года. Изложение сосредоточено на строении мажорируемых операторов, подробно освещены вопросы разложения, продолжения и аналитического представления. Предметом особого внимания монографии являются различные классы мажорируемых операторов: интегральные и псевдоиптегральныс операторы, сохраняющие дизъюнктнбеть и разложимые операторы, суммирующие и циклически компактные операторы.
Несмотря на продолжающееся по сей день интенсивное развитие иссле-

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.1. Для билинейных форм действующих из Е х Е в К предложение установлено О. ван Гансом в [53].
Следующее утверждение (см. 113, 1.3.3 (3)]) часто именуют леммой о двойном разбиении.
Лемма 1.2.1. Пусть х,у,г е Е и х = у + г. Если х — ад Н V х„ для
некоторых XI
Хк = Ук + Ч (к := 1
Получение формул порядкового исчисления предполагает манипуляции с аргументами билинейного оператора, которые используют следующее вспомогательное утверждение, базирующееся на лемме о двойном разбиении.
Предложение 1.2.2. Пусть к{г) Е N и х, у}
утверждения:
(1) х 4 1- хц = х;
(2) для каждого г = существует функция 0, : {1
А’(г)} такая, что
Уг = X] х, (у := 1
{Т-Ш=з}
(3) если у А. у1 для всех г — 1
из набора (жг)ь=1 попарно дизъюнктны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство опирается на следующую форму леммы о двойном разбиении: Если щ