Вложения функциональных классов и сходимость кратных рядов Фурье

• Автор: Драгошанский, Олег Святославович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Анизотропные нормы ядер Дирихле и тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами

§1.1. Оценки норм ядер Дирихле

§1.2. Полиномы с монотонными коэффициентами

Глава 2. Сходимость и расходимость рядов и интегралов Фурье

функций, определенных на плоскости, при поворотах системы координат, в которой записаны эти функции

§2.1. Пример первый (на основе примера Феффермана)

§2.2. Пример второй (на основе одной теоремы Лузина)

Глава 3. Непрерывность по Л-вариации функций двух и более переменных

§3.1. Совпадение классов АВУ и САУ

§3.2. Несовпадение классов АВУ и САУ
Список литературы

Введение.
Сначала введём некоторые обозначения.
Пусть М, К+, 2 и N — множества действительных, положительных действительных, целых и натуральных чисел, соответственно, а Т — это полуинтервал (—7Г, 7г]. Элементы множества К”* (т-компонентные вектора) мы будем по возможности обозначать “жирными” символами: х, 1, ..., а для обозначения их компонент мы будем использовать тот же символ, написанный обычным шрифтом, с индексом снизу: х = (ац, жг, -.., хт), Ї = (^1) І2і ■ ■ ■ і ^т))
Если х и у е ії, то будем писать: х ^ у (х > у), если Х) ^ у у (х^ > у]) при і = 1... т. Обозначим через

ХУ = ЕХ^’ П(х) = Ц(І^І + 1)’ Пі(х) = кі • • • • • жт|-
і=1 і=
Если число а Є К, то через [а] обозначим целую часть а, а через а - вектор из К"*, все координаты которого равны о.
Далее, если даны М— некое подмножество М, действительное число о, а также вектор р = (рі,..., рт), то вполне естественны обозначения
аМ = {ох : х Є М} и М — р = {х — р : х Є М}.
Если Л і,..., Ящ — некие неотрицательные числа, то обозначим через Пн. = Пд, ят параллелепипед (в двумерном случае прямоугольник)
[-Ді.Ді] х [-Д2,Д2] х ... X [-Лт, Лт].
Пусть функция /(х) = /(жх,..., хт) от тп переменных определена на К”1, 2л-периодична по каждому аргументу и интегрируема на кубе Т"1 = (—7Г, 7г]т. Сопоставим ей формально записанный ряд
Е (0-1)
пег"»
где числа
Оп(/) = А/ е-іпх/(х)бх ?
— коэффициенты Фурье функции /. Этот ряд называется рядом Фурье функции /(х).

Если /(х) определена лишь на некотором кубе
(—7Г + 01, 7Г + 01] X (—7Г + 02, 7Г + Сц] X .. . X (—7Г + ат, 7Г + От]
и интегрируема на нём, то тогда мы можем доопределить её периодически и рассмотреть ряд Фурье получившейся функции.
Если РЕ — некое ограниченное подмножество то величина

называется частичной суммой ряда (0.1), соответствующей множеству IV, в точке X. В частности, если есть прямоугольник ПК = Пдг,^ с целыми N1,..., ЛГт, то соответствующая частичная сумма

й'м лгт(/,х) = 5к(/,х)= ^2 апегпх

называется прямоугольной, а если все IV,- одинаковы, то^и^квадратной ча- ^ стичной суммой.
Как нетрудно показать, справедливо представление:
йтК/, х) =-^ [ Дх + ^Ау^сК,
7Г Jтm
где = Е <="’
пбЩП2т
— ядро Дирихле, соответствующее множеству
Далее, для функций /(х) е А(КТГ‘) определим преобразование Фурье, так, как это делается в книге [24]:
г[/(.)](в) = Л8) = р^/к,/(х)е-^ах.
Соответственно, частичный интеграл Фурье функции / по ограниченному измеримому множеству М С К запишется так:
Jм{f{^),x)= [ 7(в)е1Ж*(1в.

Опять-таки, если множество М есть прямоугольник Пя,,...дт, то мы получаем частичный прямоугольный интеграл Фурье функции /, обозначаемый как
•7я1,...,ят(/>х) = ^н(/,х) = ЛЛ1,.._Ят(/,х).

Теорема 2.1. Пусть функция двух переменных <р{х,у), х, у € Я, есть сумма равномерно сходящегося ряда:
у) = ^2 _1_е<"*(*+&)(»+**)5 к= 2 к
где числа Нк = 22*, а “смещение” 6к равно остатку от деления числа к на 3. Далее, пусть непрерывная и интегрируемая на К2 функция ф(х, у) такова, что для ее преобразования Фурье ф {и, и) справедливо неравенство
Щ) = У |ф(и, и) 11п ^2 + у/и2 + йи йи < сю.
Обозначим через Ф° множество точек (х,у), в которых ф(х, у) = 0.
Тогда для функции С(х,у) = ф(х,у)(р(х,у) справедливы следующие утверждения:
(I). Интеграл Фурье функции <7(х, у) сходится по прямоугольникам к 0 на множестве точек (сходимость равномерна на любом ограниченном подмножестве Ф°), и расходится во всех остальных точках. В частности, если функция ф нигде не обращается в нуль, то интеграл Фурье (7 расходится по прямоугольникам всюду.
С другой стороны, для произвольного угла а £ Я {ктт/2 : к £ Щ после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(£, р), интеграл Фурье полученной функции (7^ (£,77) = ((7 оГа)(^) сходится по прямоугольникам к <7^ равномерно на М2.
(II). Предположим дополнительно, что носитель функции ф(х, у) лежит в круге {{х,у) : х2 + у2 ^ (л — 6)2}, где число 5 £ (0,7г). Тогда ряд Фурье функции Сг(а::)У)|хуе(_я-ж] сходится по прямоугольникам к нулю равномерно на множестве П (—7Г, тг]2 и расходится всюду на дополнении (—7Г, 7г]2 Ф°.
Однако при повороте системы координат (х,у) = Та(£, р) на произвольный угол а ^ {ктг/2 : к € Щ ряд Фурье полученной функции (СГоТа)(^т?)|^ле(-л-.7г] годится по прямоугольникам к <7^ равномерно на квадрате (—7Г, 7г]2.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится несколько лемм.
Лемма 2.1. Пусть интегрируемая на К2 функция ф(х, у) такова, что ее преобразование Фурье ф(х,у) также интегрируемо на К2. Определим