Экстремальные задачи в некоторых классах двумерных гармонических отображений

• Автор: Ступин, Денис Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 127 с.

ГЛАВА 1. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ
КЛАССОВ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§1. Оценки на классе функций, удовлетворяющих лемме Шварца
§2. Обобщенные классы Каратеодори
§3. Связь обобщенных классов Каратеодори с классами
локально однолистных отображений
§4. О локальных экстремалях в проблеме Кшижа
ГЛАВА 2. МЕТОД СТРУКТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ
КЛАССОВ ПЛОСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ И
ЛОГГАРМОНИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§5. Определение и локальное представление гармонических и
логгармонических отображений
§6. Некоторые классы гармонических и
логгармонических отображений
§7. Структурные формулы для классов гармонических и
логгармонических отображений
§8. Оценки для начальных коэффициентов в
§9. Оценки всех коэффициентов в В,
§10. Оценки коэффициентов квазиконформности
§11. Задача о покрытии в классах гармонических и
логгармонических отображений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ ДИСКА В ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§12. Квазиконформные свойства гармонических
отображений диска в евклидовы пространства
§13. О субгармоничности характеристики р
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Объектом исследования, в настоящей диссертации, являются локальные и глобальные свойства обобщенных гармонических отображений единичного круга А в С. При этом упор делается на три основные экстремальные задачи: оценка модулей тейлоровских коэффициентов, вычисление обобщенной константы П. Кебе и получение теорем искажения для заданных классов гармонических отображений.
Определим понятие обобщенного гармонического отображения. Пусть
й и 5 —римановы поверхности, бв2 = р2(го)бю2 —риманова метрика
на <3, нормированная условием ff Р2(гп) бибь = 1, где ю = и + гд, р(гп)
— измеримая, положительная, исключая возможные изолированные нули, функция, определяющая метрику бз2. Гармоническим относительно указанной метрики называется отображение / : II локальные
представления ю(г) которого являются решениями квазилинейного уравнения
д2ю пбр диоды
',0"'91в1 + 2^0”'а?эТ = ()' (1)
Уравнения подобного типа привлекли внимание физиков как модели некоторых калибровочных теорий. В приложениях важен вопрос о структуре особенностей решений уравнения (1).
Заметим, что гармонические относительно метрики бз2 отображения часто удобно определять как экстремали функционала Дирихле-Дугласа

р2 отбхбу, (2)

для которого (1) есть просто уравнение Эйлера-Лагранжа 5Б = 0.

Формула (3.1) позволяет выделять и исследовать симметричные подклассы 5*(Л,£?,Ь) класса 5* как множества функций, соответствующие подклассам Яновского СР(А,В, Ь), где под СР(А,В,Ь) понимается подкласс С(А,В,Ь), состоящий из функций раскладывающихся в ряд по степеням гр, а не г (рбМ).
Определение 3.7. Классом 5*(А, В,6) называется множество функций / генерируемых по формуле (3.1) из отображений к £ СР(А,В,Ь).
Классом 57 [Л, В, 6] будем называть множество функций / генерируемых по формуле (3.1) из отображений к £ СР[А, В,Ь.
Напомним, что тп — (А — В)Ь. В полной аналогии с теоремой 3.3 доказывается
Теорема 3.10. Пусть / Е 5*(А,7?,&), тогда
к к
к/Ьр«1 «^ Е ^ П(+ад- <3-18)
При р = 1 формула (3.18) переходит в формулу (3.7).
Все сказанное после теоремы 3.3 можно повторить и здесь.
В классах СР[А, В,Ь] при всех А и В есть функции для которых оценки теоремы 2.2 точны сразу для всех коэффициентов. Это влечет точность оценок (3.18) на классах 5*[А, В,6]. Сформулируем
Теорема 3.11. Пусть / £ Б*[А, В,Ь], р £ М, тогда имеют место точные оценки
к к
К/К+11 ^ ^ЕБ(""('_1))Р1{/}о-1)Р+1| ^ й(т+1рВ). (3.19)
Замечание 3.5. При натуральных т формула (3.18) упрощается
(3.20,