Экстремальные задачи интерполяционного типа и восстановление решений эллиптических уравнений

• Автор: Балова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1. Исторический обзор

1.2. Краткое содержание работы

1.3. Доклады и публикации

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Задача об оптимальном восстановлении

линейного оператора

2.2. Две леммы

2.3. Общие сведения

Глава 3. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа по неточным исходным данным
3.1. Оптимальное восстановление решения задачи
Дирихле на сфере радиуса г по неточно заданной информации на сферах радиусов 7?! и --21 Л-1 г < 7?2
3.2. Оптимальное восстановление решения задачи
Дирихле в й-мерном единичном шаре (с/ > 2)
3.3. Оптимальное восстановление решения задачи
Дирихле в (/-мерном шаровом поясе по неточно заданным граничным условиям (с! > 2)
Глава 4. Восстановление решения обобщенного
уравнения Пуассона
4.1. Общая задача оптимального восстановления
решения обобщенного уравнения Пуассона
4.2. Оптимальное восстановление решения
обобщенного уравнения Пуассона в шаре
4.3. Оптимальное восстановление решения
обобщенного уравнения Пуассона на единичной сфере
Литература

Глава
Введение
1.1. Исторический обзор
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в d-мерном шаре и d-мерном шаровом поясе по неточно заданным граничным условиям. Кроме этого, решается задача оптимального восстановления решения уравнения Пуассона с пулевыми граничными условиями по неточно заданной правой части уравнения.
В 1965г. С. А. Смоляком была поставлена задача об оптимальном восстановлении линейного функционала х' на некотором подмножестве W из линейного пространства X по значениям линейных функционалов х
е(х', W,I)= inf sup | < x',x > — ip(Ix),
xe w
где Ix := (< x, x >
Приблизительно в это же время С. Б. Стечкиным была поставлена близкая к рассматриваемой задача о приближении неограниченного оператора ограниченным. Исследования задачи Стечкина, проведенные В. В. Арестовым и В. Н. Габушиным, выявили её тесную связь с оптимальным восстановлением по приближённой информации. В 1976г. К. Ю. Осипенко обобщил теорему Смоляка на комплексный случай и решил ряд конкретных задач оптимального восстановления на классах ограниченных аналитических функций. С конца 70-х годов оптимальным восстановлением активно занимались американские математики
Ч. Мичелли и Т. Ривлин, значительно расширившие исходную постановку, специалисты по оптимальным алгоритмам Дж. Трауб, X. Вожньяковский и др.

1.1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В начале этого десятилетия в работах Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко был разработан метод оптимального восстановления линейного оператора по неточным исходным данным. Эта проблематика тесно связана решением некоторых экстремальных задач, берущих начало от одной экстремальной задачи, известной как теорема Адамара о трёх кругах. Имеется голоморфная функция /(г), определенная в кольце тт < г < г2. Пусть
Тогда 1п М(г) есть выпуклая функция от 1п г, и результат теоремы можно сформулировать в виде неравенства
справедливое для любых трёх концентрических окружностей радиусов Гі < г < г2-
Теорема, известная как теорема Адамара о трёх кругах, была сформулирована и доказана Дж. Е. Литтлвудом в 1912г., но он не упоминал о её авторстве, рассматривая как известный факт. Г. Бор и Е. Ландау утверждали, что теорема впервые была сформулирована Д. Адамаром в 1896г., хотя Адамар не опубликовал её доказательства.
Теорема о трёх кругах даёт значение следующей экстремальной задачи
Точное решение этой задачи, выраженное через эллиптические функции, было получено Р. М. Робинсоном в 1943г.
В 1913г. Е. Ландау рассмотрел похожую задачу, где роль кругов выполняли производные, и показал, что для любых функций /, / е Т00(К+), с первой производной, локально абсолютно непрерывной на К+, и /" е ДхДШц.), имеет место неравенство
Таким образом, было найдено точное решение экстремальной задачи
ІМІЬос(к+) птах, 1Ы|ьоо(к+) < <*і, ||Ли«,(®+)
В 1914г. Адамар решил аналогичную задачу для К.
В 1938г. А. Н. Колмогоров получил общий результат в этой области, построив точное решение экстремальной задачи
ІІж(А:)іи=о(Е) -» тах, |И|іоо(к) < ф, ||а;(т)|иоС1(Е+) < Ф, 1 < к < т.
Этот класс экстремальных задач известен как неравенства Ландау-Колмогорова для производных, и эти задачи подобны задаче Адамара о трёх кругах.
М(г) = шах |/(г)|.
|г|=г
М(г) < М(гі)Іп(Ф/гі) М(г2)к<-г2/то,
1п(г2/г) Іп (г/гі)
М(г) —> шах, М(гі) < ф, М(г2) < ф.
< 2||Ж||(И+) II*
3.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В (/-МЕРНОМ ШАРЕ
Заметим, что если 6г > 62, то
оо ак (2) к=0 7=1
ЕГ(Я 1, Лг> <5г) = «Ь,
а в качестве оптимального можно взять метод
оо ак (2)
<р{Уи Уг){х') = гк-Бк¥1кх')-

3.2. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле в й-мерном единичном шаре (с£ > 2).
Рассмотрим задачу Дирихле
Д и = О,
<зи) /м.
в единичном шаре Б , где
= /ж = (хь
*- 7=1 >
= { X1 = (хь
—единичная (<1 — 1)-мерная сфера.
Пусть {1 (х')}; к = 0,1
оо дк
(3.12)

Тогда решение задачи (3.11) можно записать в виде
оо О/Ь
(3.13) и(х) = и(гх') = ТУТУ}%')-

где г = |х|, х = гх', х' € 8Й-1.
Рассмотрим ситуацию, когда известен конечный набор неточно заданных коэффициентов Фурье граничной функции /(х'). Пусть фиксировано 6 > 0 и имеются два числа: «о € N и целое число О < -Лю < °по- Положим

N = )) ] aj + 0.