Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

• Автор: Сабоиев, Ризо Саломатшоевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 84 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Наилучшие квадратурные формулы
с весом для классов функций малой гладкости §1.1. Постановка задач о наилучших квадратурных формулах
с весом .'
§1.2. О паилучших по коэффициентам квадратурных формулах с
весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности . 24 §1.3. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллиру-
ющих функций
§1.4. О наилучших квадратурных формулах с весом для класса
функций 0,1]
Глава II. Оптимизация весовых кубатурных формул для некоторых классов функций §2.1. Постановка задач о наилучших кубатурных формулах
с весом
§2.2. Оптимальные кубатурные формулы для классов функций
Яш(д) и
§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом
для классов функций и Нш,2(Сд)
Литература
Введение
Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур. Рассматривается квадратурная формула

/ /(«)<#)<** = Е РкШ + ад; д, р, Т) (0.1)
а ' к
в которой весовая функция д(і) > 0 на отрезке [а, 6] и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {рк} - вектор коэффициентов, Т = {/ц : а < < І2 < ... < іп-і < < 6} - некоторый вектор узлов, а
К(/] Я, Р, Т) - погрешность квадратурной формулы (0.1) на функции /(і).
Если Ш - некоторый класс функций {/(і)} заданных и определенных на [а, Ь], то через
Д„(9П; Р, Т) = вир |
:/є9П

обозначим погрешность квадратурной формулы (0.1) на классе 9Я.
Задача состоит в отыскании следующих величии
£п(Ж;д,Т)=МІІп(Ш,д,Р,Т), (0.2)
£п(Ш- д) = ір| К(т д, Р, Г). (0.3)
Квадратурная формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на
классе ЯП по коэффициентам Р = {уц} при фиксированных узлах, если су-
ществует вектор Р° = {р°} для которой
£п(Ш,д,Т) = К{тд,Р°,Т).
Точно также, формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ЯН, если существует вектор Р° = {рк} ~ коэффициентов и вектор Т = (Е)

- узлов для которых выполняется равенство
£n{m-,q) = Rn(m-,q,P°,T°).
Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А. Н. Колмогорову, а первые основополагающие результаты принадлежат С.М.Никольскому [24]. Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом [29]. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах В.М.Алхимова [1], И.И.Ибрагимова и P.M.Алиева [14], С.М.Никольского [24], Н.П.Корнейчука [16], Н.Е.Лушнай [20], М.Левина [18], А.А.Женсыкбаева [11], Б.Д.Боянова [8], А.А.Лигуна [22], В.П.Моторного [23], В.Ф.Бабенко [2]и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н.П.Корнейчуком в дополнение к книге С.М.Никольского "Квадратурные формулы"(Москва, Наука, 1979 г.).
Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (0.1) с весом q(t) > 0 имеющих на концах отрезка [а, 6] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б.Г.Габдулхаева [9], Л.А.Онегова [25], В.А.Бойкова [6] и М.Ш.Шабозова [31].
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Здесь мы приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов для классов функций малой гладкости, а именно рассматриваются следующие классы функций: РКф = W1A00(1; а, Ь) - класс функций f(t) £ С[оД] имеющих кусочно - непрерывную производную /;(£),

іЄ-£Г«/(-£Г*
= _ї_.Л_А)
3 — 5 2 п)

из соотношения (1.2.12) с учетом (1.2.26) будем иметь
£п{Нх-Г*-Т*) 2п
(3-в)(2-в)(1-в)
/ 1 3-*'
А1-)

(2-а)(1-в)

1 N2-*

(1.2.27)
Применяя к правой части (1.2.27) биномиальное разложение
ж п а(а — 1) 2 а(а — 1)(а — 2) > . о.
(1 — х) = 1 — ах 4
справедливое при любом вещественном а, получаем
£П(Я1;Г*;Г*)

(3-в)(2-в)(1-а)

(1_ДГ'а;+
(3-в)(2-в) 1 | (3-5)(2-5)(1-5)

(2п)*

(3 п)
+ о(4

1 . [і _ 2Ґ1 - . ± + (2-а)(1-а) __1_ ґ±Л
(2-5)(1-5) Г *4 1! 2п 2! (2п)2 п2
(2п)2
4(1 — в) п ' 24 п2 ' Уп2 откуда и следует равенство (1.2.25). Теорема 1.2.3 доказано.
Заметим, что из (1.2.25) вытекает предельное равенство
Пт п.£я(Я1;Г*;Г*)
4(1-5)
, 0 < 5 < 1.