Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита

• Автор: Алексеев, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

1 Введение
2 Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси
2.1 Основные определения и обозначения
2.2 Эквивалентность К-функционала и обобщенного модуля гладкости
2.3 Прямые и обратные теоремы
3 Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита
3.1 Определения. Основные результаты
3.2 Доказательство теоремы 3.1
3.3 Приближение "углом'и "прямоугольником"
3.4 Доказательство теоремы 3.1
3.5 Обратная теорема
4 Неравенства для норм многочленов
4.1 Неравенства разных метрик
4.2 Неравенства разных измерений
Классы функций Н,В и теоремы вложения
5.1 Классы функций Н и эквивалентные нормы
5.2 Классы В и эквивалентные нормы
5.3 Теорема вложения разных метрик
5.4 След функции и теорема вложения разных измерений
5.5 Обратная теорема вложения разных измерений
5.6 Компактность вложения классов Щр(Шт)
Приближение функций гиперболическим углом
6.1 Основные определения и результаты
6.2 Доказательства теорем 6.1.1-6.1
Оценка поперечников классов функций с доминирующей смешанной производной
7.1 Основные определения и результаты
7.2 Доказательство теорем 7.1.1-7.1

Глава
Понятие наилучшего приближения ввёл П. Л. Чебышев ([70]) в 1854 г. Он рассматривал задачу о нахождении полинома Рп(х) заданной степени п такого, что разность наименее уклоняется от нуля на заданном отрезке. Им же было впервые введено расстояние между функциями как максимум модуля разности.
Согласно его определения
En{f)c = En(f)c[a,b] = min II/ - Рп\с[а, Ь}-
П. Л. Чебышев исследовал задачу о нахождении наилучшего приближения для данной /.
Позднее, наряду с классическими постановками, возникли задачи о выяснении соотношений между структурными свойствами функций и порядком их приближения алгебраическими полиномами. В этих работах, с одной стороны, находится скорость стремления к нулю наилучших приближений при тех или иных условиях на функцию. Такие результаты получили впоследствии название прямых теорем теории аппроксимации.

Глава 3. Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита
Подставим 8± = 2“ь,^2 = 2~м в (3.5.17). Получим:
1/-1 М
^(/Л^р А 2-Ы+г2м)|^ ^ 2/(п-1)2ш(г2-г)21+туг^т_1{1)^
.Г-1 М
//„ 1 _/_ 1 7 I_1 О ,
,,-„з+
£=0 т

, о(г-1-1)г+г2М Му1,2 / л .
г=о

+ ^ 2пГ+(га-1)т . 2тУ^12т_1(/)Р1Р+

5-1 г5
Но 2Г* = У 2г5. Следовательно, в оценке (3.5.18) можно заме-

Ь~1 М
нить 2Г'Ь на X) 2п/ и 2Г2М на 5] 2Г2Ш. Получим:
1=0 т=о
Г-1 М
ЕЕ 2 1 + 2 ■ ^2С12т-1(/)р,р+
1=0 т
3“ И>1-12м-1 (/)р,р 3“ ^2л’-12т-1 (/)р,р ""Ь И>в-12М-1 (/)р>Г
А так как Утга есть невозрастающая функция по аргументам т и п, то выражение, стоящее в квадратных скобках, можно оценить как У2^212т_1(/)р,р. Получим:
Г-1 М
ггур(/, 5ь <Ур,р 3 ■ X Е 2г,'+’'””35!Й2-.(/)р,р- (3.5.19)
г=0 т
Из той же монотонности можно получить оценку:
21-1 2т
2+ ^2(-12т-1 (/)р,/Э Н Е Е ■^51 £2 (/)*/>■
51=2г“2 + 1 В2=2от_2 +
Подставляя эти величины в (3.5.19), получим: