Интегральные методы в многомерной теории степенных рядов и разностных уравнений

• Автор: Лейнартас, Евгений Константинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 157 с.

1 Кратные степенные ряды и разностные уравнения с постоянными коэффициентами

1.1 Структурная теорема о решениях многомерного разностного уравнения

1.2 Задача Коши и фундаментальные решения для многомерного разностного уравнения

1.3 Многомерные разностные уравнения с матричными коэффициентами

1.4 Многомерные разностные уравнения и амеба характеристического многочлена

2 Асимптотика многомерных разностных уравнений и амебы алгебраических гиперповерхностей
2.1 Вычеты Гротепдика и системы разностных и дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2.2 Асимптотика системы многомерных разностных уравнений с переменными коэффициентами

2.3 Асимптотика скалярного разностного уравнения

с постоянными коэффициентами

2.4 Ассоциированная система и ее связь с многомерной теоремой Пуанкаре
3 Композиция Адамара и теоремы об умножении
особенностей
3.1 Композиции Адамара типа «диагонали» кратного степенного ряда
3.2 Суммы с линейными ограничениями на индексы
суммирования
3.3 Композиция Адамара с «весом»
3.4 Угловые и хорошо достижимые особые точки
композиции Адамара
4 Когомологическое приведение периодов рациональных дифференциальных форм
4.1 Разложение рациональной функции многих переменных на простейшие дроби
4.2 Когомологическое приведение периодов в С”
4.3 Понижение порядка полюсов и когомологическое приведение периодов в СРп
4.4 Оценка размерности п-мерпой группы когомологий дополнения алгебраической гиперповерхности в С'1

Представления функций рядами, а затем и интегралами, возникли на ранних стадиях развития теории функций и математического анализа в целом, как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений разностных и дифференциальных уравнений, исследования их асимптотики и их аналитического продолжения. Создание общей теории аналитического продолжения функций (Вейсрштрасс, Рн-ман) позволило понять сущность явления многозначности аналитических функций, которое было основным источником ошибок при неумелых попытках аналитического продолжения, однако не отменило использование многочисленных специальных методов аналитического продолжения, в том числе и представления функций интегралами, зависящими от параметров. Это объясняется малой эффективностью общего аппарата аналитического продолжения при решении конкретных задач.
Ряды и интегралы являются мощным инструментом математического анализа, нашедшим самые разнообразные применения при решении математических и прикладных задач. Один из первых примеров такого рода — введенная в обращение Л. Эйлером гамма-функция, которая позволила распространить факториал с целочисленного переменного на действительное и, используя полученное Эйлером интегральное представление, получить асимптотическую формулу для гамма-функции (формулу Стирлинга). Эйлер же решил и задачу суммирования функций, получив формулу Эйлера-Маклорена, частным случаем которой является формула Стирлинга.
С задачей суммирования функций теснейшим образом связана теория решения конечно-разностных уравнений. К числу первых результатов здесь можно отнести утверждение Муавра о возвратных степенных рядах, т.с. рядах, коэффициенты которых являются решениями разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказалось, что такие

(£ Гт(х)/г?) •/>(*)=£(£ + а^!гХ = Е
х£1п
хеТ" а€Л
следует, что Тт{х) — искомое фундаментальное решение.

Продолжим матричную (функцию ф на 2":
и определим )1: Z'i —*■ С^хг следующим образом:
(1.3.0)
//(ж) = Е саФ{х + а), ж £ 2".
Обозначим 5 = {ж е 2" : существует а £ А такое, что ж + а £ Х?п} и 5+ = 5 П 2", а 5_ = 5 5+. Наконец, определим /7 : 2П —> С<*хг следующим образом:
Отметим, что /2(ж) — 0 для ж € 2".
Теорема 1.3.1. Пусть т — вершина многогранника Ныотоиа Мр, удовлетворяющая условиям (1.3.3) или (1.3.4), Тт(х) — соответствующее вершине т фундаментальное решение и р : 2П -> Сдхг построено по начальным данным по формулам (1.3.5), (1.3.0) тогда
— решение задачи (1.3.1) - (1.3.2).
Доказательство. Покажем прежде всего, что сумма в (1.3.7) конечная. С учетом (1.3.0) н леммы достаточно показать, что для любого ж £ 2" уравнение у + V = ж имеет конечное число решении {у, V), где у £ 5_, а V £ т + Кт.
По определению множества найдется ад £ А, такое, что у + ад € Ъпт с 2", но тогда у+и — (у+а0)+(т-а0)+игде г/ е Кт. Это означает,
(1.3.7)
ж £ 5_
Ж ф:
(1.3.8)
уе%п