Спектральный анализ каузальных операторов

• Автор: Криштал, Илья Аркадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 112 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Индекс используемых обозначений

Введение

Глава I. Элементы спектральной теории представлений групп

§1. Банаховы модули и представления групп

§2. Спектр Берлинга в банаховых модулях

§3. х-направленности; элементы эргодической теории

§4. Спектр Берлинга линейных операторов

§5. Критерий Карлемана; элементы спектральной теории пар линейных операторов и асимптотические оценки аналитических функций

Глава II. Каузальные операторы и их основные свойства

§6. Различные подходы к определению каузальности

§7. Каузальные операторы и представления групп
§8. Антикаузальные операторы и операторы без памяти
§9. Гиперкаузальные операторы
§10. Каузальность и граничные значения голоморфных функций
Глава III. Каузальная обратимость
§11. Обзор общих критериев каузальной обратимости
§12. Компактные и и-эргодические каузальные операторы
§13. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга
§14. Обратимость каузальных операторов и экспоненциальная дихотомия
Литература

Индекс используемых обозначений
Обозначение Пояснение
Зі коммутативная банахова алгебра
Х,У,2 Комплексные банаховы пространства
С Поле комплексных чисел
Е-.ЯхХ-ьХ Отображение, задающее структуру банахова модуля на X
X сопряженное к X банахово пространство линейных ограниченных функционалов
ЕпЗХ Банахова алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства X
и: Зі->ЕпсіХ Г омоморфизм банаховых алгебр Зі и ЕпсЕХ
(Х,Я,Х),Х банахов модуль
© Локально компактная абелева (ЬСА-) группа
Ь(©,а) Банахова алгебра измеримых (по мере Хаара) на © (классов) комплексных функций, суммируемых с весом а, со сверткой функций в качестве умножения
© Двойственная ЬСА-группа непрерывных унитарных характеров группы ©
Ж ЬСА-группа действительных чисел
Ж ЬСА-группа целых чисел
т= ж Единичная окружность (А є С: Л = 1}
И: (В^-ЕпЗХ Представление ЬСА-группы © операторами из ЕпсІХ
&и Вес, ассоциированный с представлением 1Ь © -» ЕпйХ
Ж(Са,а) Банахова алгебра комплекснозначных регулярных счетно-аддитивных мер, определенных на борелевских подмножествах ЬСА-группы © , суммируемых с весом а
Ж (О) Банахова алгебра ограниченных мер
ЖХ&,а) Подалгебра дискретных мер из Ж((В,а)
Жас(<В,а) Подалгебра абсолютно непрерывных мер из Ж(€Е,а)
Жхт,а) Подалгебра сингулярных непрерывных мер из Ж(©,а)
МД Е), Р є Пространство определенных на измеримом подмножестве О. с © положительной меры измеримых (по Бохнеру относительно меры Хаара на ©) функций со значениями в банаховом пространстве Е, суммируемых со степенью р при р є [1,00) и существенно ограниченных при р = 00 (с отождествлением классов эквивалентности)
С (П,Е) Подпространство непрерывных функций из Ьоо(Е1,Е)
с„(0, Е) Подпространство равномерно непрерывных функций

Обозначение Пояснение
Сю(0, Е) Подпространство т раз непрерывно дифференцируемых функций из Ьш(£2,Е)
С0 (С1,Е) Пространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности
а&[<а, Е) Пространство почти периодических функций из ЕА<Тз,Е)
ш Множество натуральных чисел
о(А), р(А) Спектр и резольвентное множество оператора А из ЕпсІХ
Н Комплексное гильбертово пространство
Нот(Х, У) Банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в 7
% Семейство проекторов из ЕпсІХ, осуществляющее разложение единицы
Хи Подмодуль и-непрерывных векторов из Xй
5р(Й?) Спектр коммутативной банаховой алгебры Зі
а є С(8р(Я)) Преобразование Гельфанда (Фурье, если Зі = Ц©,«)) элемента (функции) а из алгебры Зі
оя(а), рх(А) Спектр и резольвентное множество элемента а из банаховой алгебры Зі
Л(х), Л(х,Ц) Спектр Берлинга элемента х из Xй (относительно представления и)
Лв(х), Л5(х,и) Спектр Бора элемента х из Х° (относительно представления И)
© ©с=(©в)л Боровская компактификация группы ©
м Наименьший замкнутый подмодуль из Xй, содержащий х
Х(<7),Дс7,и) Спектральное подпространство (подмодуль)
* Подмодуль векторов из Xй с компактным спектром Берлинга
я Некоторое направленное множество
23+ Подполугруппа неотрицательных действительных чисел
Л(х) Предельный спектр ограниченной направленности х = (хв) из Xй
лс^Л Д(^:), ж Банахово пространство операторов без памяти
т-с10 Замыкание множества О в топологии т
ЛД,и) Множество г-эргодических точек вектора х из Х°
Лс(х,и) г-нспрерывный спектр вектора х из Xй
г-существенный спектр вектора х из Xй

В частности, если модульная структура на X задана также, как в примерах 1.12 и 2.7, то, положивши) = &и где/е ЦЖ,а) и 8. - символ Кронекера, получим сг(С7) = Х{Х). Более общий результат содержит в себе следующая 2.29. Теорема. Пусть на X задана структура Ц(Ог,«)-модуля, ассоциированная с сильно непрерывным представлением и: © -> ЕпАХ, и оператор А е ЕпАХ имеет вид
Л=2>*и(&), (2.3)

Где (а^, (ёк) - последовательности из © и © соответственно, причем (ак) такова, что ряд (2.3) абсолютно сходится. Тогда спектр оператора А является граничным и допускает представление в виде
а(А) = |ь е С: X = £ак1(%к), у е А(Х, Ц)| (2.4)
Доказательство. Символом <ЭЛ как и в замечании 2.2, обозначим группу ©, наделенную дискретной топологией. Тогда X наделяется структурой Ь(©д,а)-модуля, ассоциированного с непрерывным представлением Цу (Зд —>■ ЕпАХ, ГУ^)=и^), g е €Вд. Поскольку оператор А можно записать в виде Ах = /х, где /е Ь(©ла) определяется равенствами:/Г^ц) = ак, к > 1, и/^) = 0 при g * -g^; и £> 1, то непосредственно из следствия 2.28 получаем представление
а(^)=/(Л(А,иЛ)=|яе(С: Х = ^аку(ёк), УеЛ(АГ,и,)|, (2.5)
где Л(.Г,иг/) - подмножество из компактной группы ©е(см. замечание 2.2). В
силу следствия 2.27 спектр а(А) является граничным.
Легко видеть, ЧТО ДЛЯ векторов ИЗ ХК (см. следствие 2.13) спектр А(х,Х(д “©с
совпадает с замыканием А(х, и) множества А(х,и) в топологии группы О с. Поэтому, используя сильную непрерывность представления и, лемму 2.14 и свойство 7) леммы 2.12, имеем
. —@с
л(вд= [>№)'= ил(*,и)я = ил(жиг= Л(Т,Ц)Эг.