Обращение интегральных операторов типа В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых пространствах

• Автор: Шишкина, Элина Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 118 с.

1 В-потенциал Рисса
1.1 Непрерывность и компактность В-потенциалов
1.2 Формула Киприянова-Пицетти
1.3 Ряды Тейлора и Лорана для весового функционала
1.4 Преобразование Фурье-Бесселя радиальной функции
2 Интегральный оператор типа В-потенциала Рисса
порядка а
2.1 Весовые средние функций, заданных на части сферы
2.2 Вычисление символа интегрального оператора типа В-потенциала Рисса при 0 < о; <
2.3 Регуляризация расходящихся весовых интегралов по части сферы
2.4 Основная теорема о представлении символа
3 Обращение оператора типа В-потенциала
3.1 Символ о.В-г.с. интеграла
3.2 Общие В-гиперсингулярные интегралы как свертки с обобщенной функцией

3.3 Представление некоторых сингулярных
ш , дифференциальных операторов
3.4 Обращение оператора 11“ 0 с плотностью из Ф7
3.5 Обращение и® 0 в 1/^
Литература

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Потенциалы, порожденные обобщенным сдвигом, впервые изучались известным американским математиком А. Вайнштейном и его школой (1947-1965) при построении осесимметрической теории потенциала. Конструкция введенных потенциалов характеризовалась присутствием так называемого обобщенного сдвига. Ранее (1938) этот сдвиг изучался Ж. Дельсартом, работы которого послужили основой нового научного направления -теории обобщенного сдвига, созданного усилиями Б.М. Левитана его учениками и последователями.
Впоследствии И.А. Киприянов (1967) стал использовать более общий вид сдвига, включающего обычный и обобщенный, что давало возможность вводить потенциалы нового вида, учитывающие симметрию. При постановке соответствующих задач использовалась известная работа М.В. Келдыша о дифференциальных уравнениях, вырождающихся на границе области. Появились исследования соответствующих задач выполненных Я.И. Житомирским, Ж.-Л. Лионсом, И.А. Киприяновым, В.В. Катраховым, Л.А. Ивановым, М.И. Ключанцевым, Л.Н. Ляховым и др.
В 1967 г. И.А. Киприянов и В.И. Кононенко рассмотрели

где = ^р|у > ^ Ф 2А;, Л ф -(IV +
|'у| + 2к), к = О,1,2 Правая часть равенства (1.51) определена и аналитична при всех А 6 С, так как +8<д £ Ф. Левая часть аналитична при всех А 6 С, кроме точек А = 2к и А = —(N+[71+2к), к = 0,1,2,
В случае А = 2к, преобразование Фурье-Бесселя функции гА будет иметь вид:
(Св[г2‘Ы7 = I |+‘|т(Де)-е-‘«УшеГ<г«*Г<ь.
Заметим, что |ж|2Д7(ж', £') • е “*(*">£") = — Д|^7(ж', £') • тогда
имеем
№**).!+ = / / (~АвМх'’ о ■ КГ «КМ7 *
К+ К.+-
= / ад(0(-Лв£до)кт<к=(м-Чд)г
Рассмотрим случай А = А& = —(IV + |+| + 2к). Запишем равенство (1.51) для А в окрестности точек Аследующим образом:
(Л - ^)(г Гв?)7 = а(А) (^|,У+М+Л, у) ■
где а(А) = (А - А*){?^П>7(А). Дифференцируя это равенство по А, получаем
(1 ... Л . /а'(А)+ а(А)1п|£| ,
^д((А~АкУ^в^-у ^л^ы+л • ^-52)
Тогда из (1.52), при А -+ А*, следует
(Гзд1 = «(л*) (й*&*) >