Свободная интерполяция в жордановых областях

• Автор: Коточигов, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 258 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

§1 План диссертации

§2 Обзор работ по теме диссертации

§3 Интерполяция в областях Лаврентьева

§4 Интерполяция в квазиконформных областях

§5 Интерполяция в областях с внешним заострением

§6 Интерполяция в обобщенной полосе

§7 Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения

§8 Итоги и перспективы

§9 Терминология и обозначения

ГЛАВА I
Свободная интерполяция для классов Гёльдера в областях Лаврентьева . .
§1.1 Введение
§1.2 Теорема о расширении области
§1.3 Построение функции’’аналитического расстояния”
§1.4 Необходимость условия редкости
§1.5 Необходимость условия пористости
§1.6 Конструкция оператора продолжения для малых показателей гладкости
(граничная интерполяция)
§1.7 Конструкция оператора продолжения для любых показателей гладкости
(граничная интерполяция)
§1.8 Достаточность условий пористости и отделимости для интерполяции на
множестве общего вида
ГЛАВА II
Свободная интерполяция для классов Гельдера в квазиконформных областях
§2.1 Введение
§2.2 Свойства квазиконформных отображений
§2.3 Необходимость условия редкости
§2.4 Необходимость условия пористости
§2.5 Вспомогательные утверждения
§2.6 Построение операторов продолжения, понижения и поднятия
§2.7 Доказательство достаточности условий пористости и редкости
ГЛАВА III
Интерполяция в окрестности точки внешнего острия
§3.1 Введение
§3.2 Вспомогательные утверждения
§3.3 Построение оператора продолжения при малых показателях гладкости
§3.4 Построение операторов понижения и поднятия
§3.5 Доказательство теоремы 3.1.
§3.6 Решение задачи свободной интерполяции для стандартной полосы
ГЛАВА IV
Интерполяция в обобщенной полосе
§4.1 Введение
§4.2 Построение эквивалентной дуги
§4.3 Метод разбиения обобщенной полосы на области Лаврентьва
§4.4 Построение расширения и симметричной точки для обобщенной полосы
§4.5 Вспомогательные оценки и конструкции
§4.6 Доказательство теоремы 4.4.
ГЛАВА V
Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения
§5.1 Введение
§5.2 Интерполяция на некасательном множестве
§5.3 Теорема вложения для пространства А^((?)
§5.4 Интерполяция и эффект повышения гладкости на спиралях
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
§1. План диссертации
Нередко бывает, что на фиксированном ’’малом” множестве голоморфные функции из того или иного пространства ведут себя ’’свободно”: их сужения на это множество утрачивают следы аналитичности. Если класс таких функций допускает простое и полное описание в терминах вещественного анализа, то обычно говорят о феномене свободной интерполяции.
Целью работы является решение задачи свободной интерполяции в областях комплексной плоскости достаточно общего вида. Пусть ХА - пространство функций, содержащееся в множестве функций аналитических в области С. Требуется описать множества Е (Е = Е С (?) такие, что сужение функций пространства ХА на множество Е совпадало бы с некоторым естественным классом функций на этом множестве. Мы говорим о свободной интерполяции, поскольку на интерполируемые функции накладываются минимальные ограничения. В такой формулировке, разумеется, очерчено лишь направление исследований. Каждая конкретная задача свободной интерполяции становится содержательной только с появлением тщательно сбалансированной постановки, которая оказывается важным компонентом решения задачи свободной интерполяции.
Проводимые в диссертации исследования имеют своей базой большой пласт разнообразных работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции в круге. Обзор этих исследований будет приведен ниже. Основной результат работы - выделение геометрических свойств областей комплексной плоскости, определяющих структуру интерполяционных множеств и решение задачи свободной интерполяции в соответствующих классах областей. Самостоятельный интерес может представлять и технический аппарат, разработанный или усовершенствованный в ходе доказательства теорем о свободной интерполяции. То обстоятельство, что задача свободной интерполяции в областях отличных от круга мало исследована, косвенно свидетельствует о том, что эта задача содержательна, и дает автору основание вводить упрощающие ограничения на исследуемые объекты. В качестве пространств аналитических функций мы рассматриваем только классы Гельдера. Такой выбор продиктован двумя обстоятельствами. С одной стороны, переход от круга к областям более общего вида интересен именно для классов функций, гладких вплоть до границы. С другой стороны, среди пространств гладких функций пространства Гельдера оказываются наиболее удобным объек-

мально схема описания структуры интерполяционных множеств остается такой же, как для областей Лаврентьева, но ее реализация требует привлечения новых технических средств. В конце концов это приводит к тому, что мы даем полное описание интерполяционных множеств только для показателей гладкости, меньших одной четверти, а для больших показателей доказываем только необходимое условие интерполяции. При этом описание интерполяционных множеств остается таким же, как для областей Лаврентьева.
Мы переходим к описанию содержаеия второй главы. Естественно начать его с модификации определения пористости.
Определение 4.1.
Замкнутое подмножество Е замыкания области О называется пористым, если существует положительная постоянная С такая, что для любой точки г £ дС и для любого положительного числа г в круге Вг(г) найдется точка г, £ ЭС такая, что круг Вг,(г*), г* — С г не содержит точек множества Е.
Ясно, что для областей Лаврентьева это определение равносильно прежнему. Главное для нас свойство нового определения - его квазиконформная квазиинвариантность при квазиконформных отображениях. Это утверждение легко следует из уже упомянутого свойства квазиконформных отображений, обнаруженного Лаврентьевым [65]:
Пусть С область в комплексной плоскости и г = /(те) - конформное отображение единичного круга на эту область. Тогда равносильны следующие утверждения:
1. О - квазиконформная область,
2. существует постоянная С такая, что для любой точки те, |те| < 1, и любого г, О < г < 1 — |те(, выполнено неравенство
тах|те_«|=г |/(те) - /(*)( < Стт|да_^=г |/(те) - /(£)|.
Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы.
Теорема 4.2.
Пусть 0 < а < 1, (7 - ограниченная квазиконформная область и Е - замкнутое подмножество С?. Если Е - является множеством свободной интерполяции для пары пространств Л“(С) и Аа(Е), то множество Е удовлетворяет условиям редкости и пористости.
Теорема 4.3.
Пусть 0 < а < 1/4, б? - ограниченный квазидиск и замкнутое множество Е, Е С (7, является редким и пористым. Тогда Е является множеством свободной интерполяции для пары пространств Л“(в) и Аа{Е).