Интерполяционные шкалы банаховых пространств

• Автор: Быков, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Курск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

I. Интерполяционные свойства шкал банаховых пространств
1.1. Вспомогательные определения
1.2. Интерполяционные шкалы
1.3. Треугольные операторы в шкалах весовых пространств последовательностей
1.4. Интерполяционные теоремы
И. Свёртка двух интерполяционных функторов
2.1. Некоторые свойства интерполяционных функторов
2.2. Основные свойства функтора свёртки
2.3. Свёртка двух функторов Лиопса-Петре
ШЛространства с бесконечным множеством параметров
3.1. Общее определение многопараметрических пространств Лоренца и Марцинкевича

3.2. Сравнение пространств М^(Хо,Хх) и ЛДХо,Х1)
3.3. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича
3.4. Теорема двойственности для пространств с бесконечным множеством параметров
3.5. Пространства с бесконечным множеством функциональных параметров
Литература

Метод шкал банаховых пространств, основы которого были заложены в работах С.Г. Крейна [20, 21], является одним из вариантов развития интерполяционной теории. Правильные шкалы были исследованы в работе С.Г. Крейна и Ю.И. Петунина [22]. Подробно их свойства изложены в [23]. Метод шкал тесно связан с вещественным методом интерполяции [14]. Отметим также интересную теорему Вольфа [43] о четырёх пространствах, примыкающую к теореме о реитерации для пространств Лионса-Петре.
Метод вещественной интерполяции, имеющий своим истоком фундаментальную теорему Марцинкевича, введён Лионсом и Петре в [38], [39]. Этот метод описывается функтором, зависящим от двух параметров. В работах В.И. Дмитриева и В.И. Овчинникова [18], Ю.А. Брудного и Н.Я. Кругляка [35] построена общая теория пространств вещественного метода. Обобщённые пространства Лоренца и Марцинкевича впервые возникли в работе A.A. Дмитриева [16]. В дальнейшем некоторые задачи анализа привели к необходимости увеличения числа параметров. Впервые функтор многопараметрической интерполяции появился в работе Е.Д. Нурсултано-ва [26], одним из центральных результатов которой была теорема

Если пространства в паре совпадают, то есть Хо = Х — X, то вообще говоря, нормы в пространствах X и Хд(Хо, Х) не совпадают, однако,справедливы оценки
-ГМ* ^ Ымхх) < Вд\х\х. (2.1.2)
л о
Далее, рассмотрим пару функторов Хд0 и Тдх, определяющих отображение
{Х„, А,} ~ {Те, (Х0, , Те, ( , А',)}
из категории банаховых пар в категорию банаховых пар.
Пусть {Хо, Х} - пара банаховых пространств с эквивалентными нормами, то есть
^Их, < 1Мк < с'Мх,. (2.1.3)
Очевидно, что если исходные нормы были эквивалентны, то и полученные нормы будут эквивалентны. Нашей целью будет проследить как изменяются константы эквивалентности С' и С" при переходе от пары {Х0, Хх) к паре {Хд0, Хдх).
Всюду в дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что константы С' и С11 в (2.1.3) равны, и мы будем их обозначать через С. (Константы в (2.1.3) всегда можно заменить на большие.) По тем же соображениям будем предполагать, что Кд0 = К01 = К и Ада = Вд0 = Адх = В0х = А. Кроме того, в
силу леммы 1.2.1 справедливо неравенство (1-2.1) и Сд0 = Сдх = М.
Лемма 2.1Л. Если нормы в пространствах Хо и Х эквивалентны, то
< Ыхв0 < Щх\хв1, (2.1.4)