Экстремальные задачи на классах функций с мажорирующим выпуклым модулем непрерывности

• Автор: Багдасаров, Сергей Константинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 304 с.

Список иллюстраций
Содержание

Часть 0. Введение
1. Предисловие
1.1. Введение классов И/гН“ Д. Джексоном и С. М. Никольским
1.2. Форма решений экстремальных проблем б соболевских классах
1.3. Форма решений экстремальных проблем в классах УГНШ{I)
1.4. Задачи Колмогорова-Ландау о промежуточных производных
1.5. Теория оптимального управления в классах И/Г#ш(1)
2. Общие обозначения и определения
2.1. Соболевские классы
2.2. Выпуклые модули непрерывности и и классы И/ГД"(1)
2.3. Вспомогательные результаты
3. Структура диссертации
3.1. Основные результаты диссертации
3.2. Задача о максимизации интегральных функционалов в Нш[а,Ь
3.3. Дискретная задача о максимизации функционалов
3.4. Неравенства для перестановок
3.5. Задача Колмогорова-Ландау в равномерной метрике
3.6. Задача. Колмогорова-Ландау в И/гН“ П Ьр
3.7. Задача линейной динамики в И7’ Ны
3.8. Интегральный принцип максимума для задач оптимального управления в
ЦГГНи
3.9. Благодарность
4. Элементарный пример: чебышевские ш-полиномы
4.1. Классические чебышевские многочлены
4.2. Чебышевские ш-полиномы
Часть 1. Максимизация интегральных функционалов в Нш [а, Ь]
5. Совершенные полиномиальные сплайны
5.1. Определение
5.2. Идеальные сплайны как экстремали интегральных функционалов
6. Экстремальные функции интегральных фз’нкцноналов в Нш[а, Ь]

6.1. Лемма Корнейчука и простые ядра
6.2. Обозначения и определения
6.3. Определение t/i-разбиения конечных интервалов
6.4. Структурные свойства экстремальных функций
6.5. Варианты задачи о максимизации функционалов
6.6. Критерий тривиальности для ■(/'-разбиений
6.7. Предельные свойства экстремальных функций хш,-ф
Часть 2. Дискретная задача о максимизации функционалов
7. Перестановки и экстремальные векторы
7.1. Постановка дискретной задачи
7.2. Структура экстремалей
7.3. Решение задачи для простого вектора
7.4. Экстремальное разложение на сумму простых векторов
7.5. Решение задачи в общем случае
7.6. Специальные варианты задачи
8. Приложение к теории графов
8.1. Определение, геометрическая реализация графов перестановок
8.2. Планарное представление G„(P) для простых векторов
8.3. Графическая интерпретация Теоремы 7.17
8.4. Графическая интерпретация Теоремы 7.20
8.5. Элементарные свойства графов перестановок
8.6. Связность графов перестановок
8.7. Деревья как графы перестановок
8.8. Циклы, грани и отношение Харди-Литтлвуда-Полиа
9. Транспортная задача математической экономики
9.1. Вариант дискретной транспортной задачи
9.2. Двойственная задача линейного программирования
9.3. Задача линейного программирования, двойственная к (9.1.1)
9.4. Классическая транспортная задача в дискретном случае
9.5. Экономическая интерпретация основных результатов
9.6. Модель агрегированного планирования производства
9.7. Классическая транспортная задача в непрерывном случае

Часть 3. Свойства экстремальных перестановок
10. Неравенства для перестановок
10.1. Определение убывающих перестановок
10.2. Свойства стандартных убывающих перестановок
10.3. Е-перестановки Корнейчука
10.4. Отношения между перестановками
10.5. Неравенства для перестановок
10.6. Неравенство для производных сс-перестановок
Часть 4. Задача Колмогорова-Ландау в равномерной метрике
11. История задачи Колмогорова о промежуточных производных
11.1. Постановка задачи Колмогорова в соболевских классах
11.2. Частные случаи задачи Колмогорова для классов И^(1)
11.3. Максимизация значения производной в точке
11.4. Полное решение задачи Колмогорова
11.5. Задача Колмогорова-Ландау в И/ГЛ‘^(1)
12. Ядра Фредгольма
12.1. Ядра вида 7
12.2. Ядра вида 11
13. Аддитивные неравенства Колмогорова-Ландау
13.1. Формулы численного дифференцирования
14. Построение чебышевских се-силайнов
14.1. Вспомогательные результаты
14.2. Определение чебышевских ш-сплайнов
14.3. Конструкция борсуковского отображения х : §2п-г+1 ^
14.4. Непрерывность борсуковского отображения
14.5. Свойства решений уравнения х(з) = 0.
14.6. Неравенства для точек альтернанса и узлов.
14.7. Предельная процедура
14.8. Завершение доказательства для произвольного ш.
15. Решение задачи Колмогорова в 1КГ7/“(К+)
15.1. Структура чебышевских си-сплайнов на полупрямой
15.2. Неравенства Колмогорова в гельдеровских классах И/ГЛШ(К+)
15.3. Структура чебышевских си-сплайнов на прямой

Доказательство. Пусть Ег+1 - (г + 1)-мерный симплекс из (4.2.6). Для фиксированного г > 0 и данного s = (si,..., sr+2) Є £г+1 построим множества точек {^(s)}^ и {г,- = tj(s)}j=o по пРавилУ
^o(-s) := 0, /,(.):= 5>|. J = 1,..., г + 1;
(4.2.9) i=i
t0(s) := 0, Tj(s) := j = 1,..., г.
По этому определению следующие неравенства справедливы для s Є Er+1:
(4.2.10) Ti(s) - ті-Дя) > |i,(s)-Tj(s)| < 2ге, г = 1, +1.
Коэффициенты {сф)}-=0 ядра Ks(i) = -(l/(?--l)!) ]T)i=o a‘(s)(r;(s) ~ Удовлетво-ряют системе линейных уравнений

(4.2.11) ах(т,(а))^ = mi <5„,л, к = 0,...,г.

Через д„ на [0, тГ(я)] обозначим экстремаль задачи
(4.2.12) f h(t)Ks{t) dt —¥ sup, h є Щ [О, rr(s)].

Если 0 < то < г, то К„ - простое ядро (с единственным нулем cs), и формулы ДЛЯ дв|[о,тг(*)) даны в Лемме 6.3 Корнейчука. Если т = г, то gs{t) = —w(t), поскольку signA's = —1 на (0,rr(s)).
Продолжим д, на интервал [rr(s), l] по непрерывности формулой
(4.2.13) g.(t) := (-l)m+r+1u,(i), t Є [rr(s), 1],
и через Gs обозначим следующий (г — 1)-й интеграл от д„:

(4.2.14) G„(x) = _ J (.г - t)r^2gs(t) dt, 0 < х < 1.
Рисунок 1 иллюстрирует график функции gs.
Пусть ps(t) будет многочленом степени г—1, интерполирующим Gs(t) в точках {^i(s)}!_1:
(4.2.15) ps(7;(s)) = G3(Li(s)), i = l
При этом в случае совпадения некоторых из точек {ii(s)}'=1 интерполируются последующие производные. Тогда функция
(4.2.16)
tfs(.r) := Gs{x) - ps(ж), 0 < х < 1,