О вычетных интегралах и степенных суммах корней систем неалгебраических уравнений в Cn

• Автор: Мышкина, Евгения Константиновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Предварительные сведения
1. Вычеты
2 Целые и мероморфные функции
2. Вычетные интегралы и степенные суммы корней определенных типов систем неалгебраических уравнений
3. Вычетные интегралы и степенные суммы корней
простейших систем неалгебраических уравнений
3.1 Вычисление вычетных интегралов
3.2 Интегральные представления для степенных

4. Вычетные интегралы и степенные суммы корней систем неалгебраических
уравнений треугольного вида
4.1 Вычисление вычетных интегралов
4.2 Интегральные представления для степенных сумм
5. Вычетные интегралы и степенные суммы корней
специальных систем уравнений, состоящих из целых функций
5.1 Вычисление вычетных интегралов
5.2 Вычетные интегралы и степенные суммы
6. О разложении целых функций в бесконечные произведения
3. Нахождение сумм кратных рядов с помощью вычетных интегралов
7. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов
для простейших систем

8. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов
для систем треугольного вида
9. Нахождение сумм многомерных рядов с помощью вычетных интегралов
для систем специального вида
Заключение
Список литературы

Введение
Исследование систем алгебраических уравнений является классической задачей. Частью ее является задача исключения неизвестных. Для двух переменных и систем из двух уравнений она решается с помощью результанта Сильвестра (см., например, [17]). Для систем из большего числа уравнений построена классическая схема исключения неизвестных (см., например, [12]), но она, как правило, является весьма трудоемкой. В настоящее время общепринятым методом исключения неизвестных является метод базисов Гребнера, созданный в работах Бухбергера и его учеников (основы этого метода можно, например, найти в [6]).
Модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений в С" возник в работе Л.А.Айзенберга [1]. Основная идея метода заключается в нахождении степенных сумм корней системы с помощью формулы многомерного логарифмического вычета, не вычисляя самих корней, а затем в использовании классических рекуррентных формул Ньютона для построения результанта. В отличие от классического метода исключения он менее трудоемок и не увеличивает кратности корней. Дальнейшая его разработка продолжена в монографиях [5, 7, 30]. В качестве приложений этой теории были рассмотрены системы нелинейных уравнений, возникающих в химической кинетике (см. [2, 3, 4, 8, 19, 37, 39]) и зависящих от параметров.
Во многих прикладных задачах возникают также неалгебраические системы уравнений, состоящих из экспоненциальных многочленов, т.е. из функций конечного порядка роста (см., например, [11]). Для систем неалгебраических уравнений, множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами. Но степенные суммы корней в отрицательной степени часто являются сходящимися. Возникает задача о их вычислении через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему. Это вычисление можно осуществить с помощью вычетных интегралов. В работах [9, 21] рассмотрен простейший класс

Таким образом,
■/„= ^ .лЙ.
(2^л/=І)» 7 /і(ш) /„(її;)

По теореме Южакова о смещенном остове (см. [5, гл. 2]) (см. также гл. 1) последний интеграл равен сумме значений голоморфной функции ш/3+/ во всех корнях системы (3.9). Но значение функции ш^+1 в корне системы (3.9), лежащем на координатной плоскости, равно нулю.
Поэтому
Jp = (—1)п0- 0+

Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции /, имеют вид
Ш = ~Ж~, 7 = 1,2(З.Н)
/; (г)
где /^г) и /]2)(г) — целые функции в Сп конечного порядка роста не выше р, разлагающиеся в бесконечные произведения, равномерно сходящиеся в С",
ОО ОО
/І2)(-) = П/І,?(-).
а=] &=і
причем каждый из сомножителей имеет форму + £2],и(г))еР:'','-г>, а Р^3(г) —
функции вида (3.7), (3.8) и степени всех многочленов входящих в систему, ск^Р,^, ^ р, ] - 1,2,. ,.,п, в = 1,2,
Для каждого набора индексов ]1% .. .уп, где ]і,...,]„ Є М, и каждого набора чисел *1,..., гп, где *!,..., гп равны 1 или 2, системы нелинейных уравнений
/&?(•*) = 0. /ЙИ = °. ■,/№) = о, (3.15)
имеют (согласно лемме 2.1) конечное число корней, не лежащих на координатных плоскостях.
Корни всех таких систем (не лежащие на координатных плоскостях) составляют не более, чем счетное множество Перенумеруем их (с учетом кратностей)-
2(1), 2(2), ,2(і),