Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные задачи

• Автор: Арестов, Виталий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 295 c. : ил

- 2 -Содержание

Глава I. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ НА КЛАССЕ ЭЛЕМЕНТОВ, ЗАДАННЫХ ТОЧНО ИЛИ С ИЗВЕСТНОЙ

ПОГРЕШНОСТЬЮ

§ I. Приближение операторов

§ 2. Приближение функционалов

§ 3. Приближение операторов и приближение

одного класса элементов другим

§ 4. Приближение оператора дифференцирования ограниченными операторами и приближение одного класса функций другим . •

Глава П. ПРИБЛИЖЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ (ШРАТОРОВ

§ I. Приближение операторов, инвариантных относительно некоторой полугруппы

преобразований
§ 2. Приближение операторов типа свертки
ограниченными операторами
§ 3. Приближение оператора дифференцирования на оси
Глава III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ
ПОЛИНОМОВ
§1.0 неравенствах С.Н.Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов
§2.0 неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов
Литература

0. Диссертация посвящена наилучшему приближению на некотором классе элементов оператора, вообще говоря, неограниченного, ли -нейными ограниченными. Наибольшее внимание уделяется задаче наилучшего приближения операторов, инвариантных относительно сдвига, и в частности, изучению модельной задачи наилучшего приближения оператора дифференцирования порядка к на классе л- раз дифференцируемых функций. В последней главе вычислены нормы некоторо -го класса операторов свертки в пространствах полиномов, наделен -них неклассической ? -метрикой.
Задача о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными связана с другими важными экстремальными задачами. В частности, она связана с некорректной задачей наилучшего восста -новления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных с известной погрешностью, а именно, дает возможность оценить минимальную погрешность восстановления и выбрать хороший прибли -кающий ограниченный оператор.
Вопросы восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, заданных точно-или приближенно, являются объектом изучения теории некорректных задач, однако задачи такого типа возникают также в теории интерполирования и приближения функции, вычислительной математике, В настоящее время имеется большое число работ А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, С.Б.Стеч-кина, В.Н.Страхова, С.А. Смоляка, Н.С.Бахвалова, В.В.Иванова, В.А.Морозова, В.А.Винокурова, В.Н.Габушина, Ю.Н.Субботина, В.В. Васина, В.П.Тананы, А.И.Гребенникова, А.Г.Марчука, К.Ю.Осипенко, Ш.Мичелли, Т.Ривлина и др., посвященных вопросам восстановления (см. Лаврентьев [12; Тихонов, Арсенин [I ; Иванов, Васин, Та-

нана [і]; Лаврентьев, Романов, Шишатский [і] ; Морозов [і,2]; Стечкин Г41 ; Бахвалов [1_] ; Арестов ; Мичелли, Ривлин [і] ; Габушин [9] и приведенную там библ.).
Задача восстановления значений оператора на элементах некоторого класса, информация о которых является неполной, может быть поставлена следующим образом. Пусть (У, &) - метрическое пространство, X и X, - два множества, А - оператор из X в У с областью определения %>(Я) с 2. , О - подано -
жество из области определения 9) С А) оператора А , С- - многозначное (возможно и однозначно) отображение (Я. в X , М~ ~и{ : $ е 3] _ образ О при отображении оператором С. ,
Щ - некоторое (приближающее) множество (однозначных) отобра -жений М в У ш Для Т6 Щ величина
и(т) - { Р (А& > Тэс.) : Жст(Зл -ус. Є С ^ (0.1)
есть погрешность восстановления А на б? с помощью оператора Г (по информации, определяемой оператором С- ). Нас интере -сует задача об исследовании величины
- с.п1{ОСТ)' ТеШ (0#2)
наименьшей возможной погрешности восстановления А на (Я с помощью семейства Ш
Наиболее подробно изучена задача (0.2) в следующей ситуации: X , У - банаховы пространства, А - линейный оператор из X в У , О. - подмножество области определения оператора А
В качестве АП берется одно из следующих множеств отображений: множество &■= Сг(Х, всех отображений X в У , множество X - £ У X , У) всех линейных операторов из X в У ,
неравенство U(Ws>T)> Q (U(KTj ^ // ТЦ cfJ * А следовательно,
J(Wf,St)> А А(и(У Т)} ЦТnf): Тчъ}
= ^ { Ф ( Ê (х), s/J): V>i 1е(Я].
Предложение доказано.
Из доказательства этого предложения видно, что справедливо равенство V ^ о2Г ^) = V (f b/j» э J , S > О
В частности, для задачи (1.2) имеют место соотношения
= <я/ { Ф ( £ ("j, SJ) : v> о] Ï -6,14)
^ tAjif { m.ajcn (Е(л/) > é') : У? о j
~ ù(3) ^ Vj- ( °?J ~ ^J ^ . Ï6.I5)
Приведем пример задачи, для которой
&(#) > ~ £о(Я) . (6.16)
Пусть Y-Х есть пространство У^ последовательностей æ-= (х0? сс/э.,. ) вещественных чисел с нормой /*&[(=■ ^у-3 / /хс/: l >, о J , -класс последовательностей ас. &
Ьа .
свойством ZL^ t /Яг! Pi £ 1 , цце f>t- > о и р>с -> °° ,
^ - оператор из ® в ^ со значениями
£ХР ,
А СКС ~ С к* > JL / Pc . о , о 3... J
Убедимся, что в данном случае