Весовые оценки интегральных операторов с переменной областью интегрирования

• Автор: Ушакова, Елена Павловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Ограниченность и компактность в весовых пространствах Лебега интегральных операторов
Вольтерра

1.2 Весовые оценки интегральных операторов

на монотонных функциях

2 Интегральные операторы с переменной

областью интегрирования

2.1 Постановка задачи

Блочно-диагональный метод

2.2 Операторы с ядром Ойнарова
2.3 Операторы типа Харди
2.4 Теоремы вложения типа Соболева
2.5 Операторы типа Харди на монотонных функциях
3 Оценки интегралов Римана-Лиувилля
3.1 Оценки на монотонных функциях
3.2 Характеризация неравенств
на кусочно-монотонных функциях
Литература

Введение
Значительный прогресс последних двадцати лет в теории интегральных операторов связан с изучением свойств операторов Вольтерра вида
в весовых пространствах Лебега.
Кроме самостоятельного значения эти преобразования играют существенную роль в различных приложениях к спектральной теории операторов, интегральным и дифференциальным уравнениям, вложениям пространств Соболева.
При исследовании операторов (1) главным вопросом является поиск критериев их ограниченности и компактности, при этом качество критериев играет определяющую роль при решении дальнейших задач, связанных с оценками характеристических чисел и приложениями. Наглядным примером в этом отношении является исследование оператора (1) при к(х,у) = р(х) ^ 0, предпринятое в рамках спектральной теории уравнения Штурма-Лиувилля (см., например, [4]). Эти результаты, берущие начало в работах Г.Харди и Дж. Литтльвуда [15]. начиная с 70-х годов XX века, обобщались многими авторами, достигнув в определенном направлении максимальной общности на классе ядер Ойнарова, когда к(х,у) ^ 0 и
£> 1к(х,у) ^ к(х,г) + к(г,у) ^ Ок(х,у), Ъ ^ х ^ г ^ у ^ а, (2) где константа П ^ 1 не зависит от х, у, г. К данному классу, в частности,

относятся ядра операторов Римана-Лиувилля к(х,у) = (х — г/)+-1 при а ^ 1. Однако, при 0 < а < 1 эти ядра не удовлетворяют условию (2). В связи с этим в диссертации рассматриваются две задачи. Первая состоит в нахождении критерия ограниченности и компактности для операторов вида
Kf(x)= f k(x,y)f(y)dy, (3)
J а(х)
содержащих (1) как частный случай. При этом ядро удовлетворяет модифицированному условию (2), а граничные функции а(х) и Ь(х) такие, что
(i) а(х) и Ь(х) непрерывны и строго возрастают на R+;
(ii) а(х) < Ъ(х) для любого х 6 (0, оо), а(0) = Ь(0) = 0, (4)
а(оо) = Ь(оо) = оо.
Вторая задача посвящена нахождению критерия ограниченности в весовых нормах Лебега для дробного оператора Римана-Лиувилля на полуоси
Lf(x) = [ (х- y)a~1f{y)dy, 0 < а < 1. (5)
В общем случае этот вопрос пока остается открытым. Мы даем в качестве "приближенного решения" критерии выполнения весовых оценок на более узких, чем все пространство Лебега, классах монотонных или кусочно-монотонных функций. Найденное решение справедливо для всех а > 0.
Перейдем в точной постановке задач и подробному изложению результатов диссертации.
Пусть 0 < р ^ оо, — оо ^ а < 6 ^ оо,
(/а |/(ж)[РсЬ)Р , 0 < р < ОО,
ess sup f(x), р = оо.
££[а,6]
Обозначим р' = р/(р — 1) при 0<р<ооир' = оо при р = 1. Для фиксированной почти всюду конечной и измеримой по Лебегу на [а, Ъ]

Глава
Интегральные операторы с переменной областью интегрирования
2Л Постановка задачи
Блочно-диагональный метод
В 70-х годах XX века в работах таких авторов как Б. Мукенхаупт [31], В.Г. Мазья и А.Л. Розин [10, 29], Дж. Бредли [19], В.М. Кокилашвили [6] были найдены необходимые и достаточные условия ограниченности простейшего интегрального оператора
выполняется для всех / с константой С > 0, не зависящей от /, при 1 < р ^ q < оо тогда и только тогда, когда
из в Lqw, то есть показано, что неравенство
при 1 < q < р < ос, 1/r = l/g — 1/р тогда и только тогда, когда