Интегральные представления и монодромия для алгебраических функций

• Автор: Михалкин, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 86 с. : ил.

1. Интегральные формулы и монодромия для алгебраических функций
1.1 Формулировка результатов Меллина и Биркелана
1.2 Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку
1.3 Монодромия решений триномиального уравнения
I 1.4 Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения
1.5 О геометрии разрезов Е+ и Е
1.6 Геометрия разрезов Е+ и Е_ для тетраномиального уравнения
1.7 Решение уравнения (1.3) с помощью интеграла по контуру
2. О решении уравнения пятой степени методом Эрмита-Кронекера
2.1 Функция /(т) и общая схема решения уравнения пятой степени
2.2 Фундаментальная область для функции ф(т) = ■
Р 2.3 О выборе знаков в выражении для /12(т)

2.4 Решение модулярного уравнения с помощью гипергеомет-рических рядов
2.5 Представление решения уравнения (2.1) в виде сужения * гипергеометрических рядов на сдвинутую однопараметрическую

Заключение
Список литературы

Вплоть до середины 19 века поиски аналитического решения алгебраического уравнения степени выше чем четыре, были безрезультатными. Лишь в 1858 г. Эрмит [24], [25] и Кронекер [28], независимо друг от друга нашли решение для уравнения пятой степени. А именно, им удалось выразить решение уравнения
у5 + Ъу
(к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразований Чирнгауза [34] (см. также [7], [12])) через модулярную эллиптическую функцию. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Мел-лином [29] было найдено решение для алгебраического уравнения
гп + хп- 1,гп-1 + ... + ац-г - 1 = 0 (0.1)
с помощью гипергеометрических рядов переменных хх хп-1, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение п-ой степени записывается в виде
хпгп + ... + х1г + х0 = 0.
Решением этого уравнения является многозначная алгебраическая функция г(х), обладающая свойством двойной однородности [31]. Следова-
% построение амебы дискриминанта
parafcn{—1.91, —0.522,0.1} {(ln(abs(((3 * f)/(2 * t + 1)))) + (1/3) * ln(abs((2 *t + l)/(t + 2))),
ln(o6s(((3)/(-2 * t - 1)))) + (2/3) * ln(aôs((2 * t + 1 )/(t + 2))))} parafcn{0.033, 27,0.1}{(ln(ab.s(((3 *t)/(2*t + 1)))) + (1/3) * ln(abs((2 * t + 1 )/(t + 2))),
ln(abs(((3)/(2*t + 1)))) + (2/3) *ln(abs((2*t + l)/(t + 2))))} parafcn{—30,2.09,0.1}{(ln(abs(((3*t)/(2*t + 1)))) + (1/3) *ln(obs((2* t + 1 )/(t + 2))),
ln(abs(((3)/(2 *t + 1)))) + (2/3) * ln(abs((2 *t + l)/(t + 2))))} parafcn{—48, —0.03,0.1}{(ln(abs(((3*t)/(2*£+l)))) + (1/3) *ln(abs((2* t + 1 )/{t + 2))),
ln(abs(((3)/(2 *t + 1)))) -f (2/3) * ln(abs((2 *t + 1 )/(£ + 2))))}
% построение петли
parafcn{0.001,0.999, ,l}{((l/2) * ln(exp(2/3 * ln((l — £)/(£))) + 4/(exp(l./3 * ln((l - t)/(t))))),
(1/2) *ln(4*exp(l/3*ln((l — £)/(£))) + l/(exp(2/3 * ln((l — £)/(£))))))} end{mfpic}
В заключении параграфа сравним области сходимости интеграла (1.6) и интеграла Меллина-Барнса для кубического уравнения (1.24). Напомним, что на рисунках 10,11 были изображены коамебы прямой Х+Х2 — 1 и дискриминанта уравнения (1.24). Уравнения прямых Е± можно записать в виде Ах 1 + Вх2 = 1, где
1 . .2 iri _ 2 , Ч1 _i
А = t3(l - t)3e 3, В = t3(l- t)3e з