Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом

• Автор: Гейдаров, Ариф Гусейн оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 107 c. : ил

Глава I. Разложение по собственным функциям самосопряженных карлемановских операторов
§ 1.1. Известные факты и общие результаты
§ 1.2. Разложение по собственным функциям карлемановских операторов
§ 1.3. Карлемановость возмущений карлемановских операторов
Глава II. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом
§ 2.1. Самосопряженность эллиптических операторов
второго порядка с сингулярным потенциалом
§ 2.2. Самосопряженность эллиптических операторов
высокого порядка с сингулярным потенциалом
§ 2.3. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов второго порядка
§ 2.4. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка
Литература

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + ^(Х) имеет основное значение для квантовой механики. При этом рассматриваемое возмущение <КХ> , как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.
Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самоеопряженных операторов построена в работах Ф.И.Маутнера Г64 А.Я.Повзнера И , И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко [п] , Ю.М. Березанского [з,б] , Л.Гординга £56] , Ф.Е.Браудера [52] ,
К.Морена [63] , Г.И.Каца [22-24] и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю.М.Березанского О] (см.также И.М.Гельфанд и Н.Я.Виленкин [13] , К.Морен N )•
Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см.например, 0.А.Ладыженская и Н.Н.Уральцева [26] ) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.
Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т.е. функции обладающей тем свойством, что из А ^ В следует <ЦА)£‘р(В) (известные результаты К.Левнера, см.например [ 50,61] , ( £17] , гл.8, § 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки &.(С>| (А)с) С оо , где <Х(Я) и С - некоторые функция и оператор. Поэтому, если в указанном смысле монотонная, то из карлемановости В и того что А^В > следует карлемановость А . Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.
В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б.Саймон [68] , Т.Като [б7,58] , Ю.М.Березанский [4] , Ю.Б.Орочко [29,32] , П.Р.Чернов [71] , Ю.М.Березанский и В.Г.Са-мойленко [в] , М.А.Перельмутер и Ю.А.Семенов [34] и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах

й..(УО*СО 7) = У (СОУе^ ,ОУеЛ 4С<<Х>

Таким образом, неравенство (1.3.2) установлено. Согласно (І.І.І0) справедливо (1.3.I). Тогда в силу теоремы І.І
. Поэтому согласно лемме 1.2.4 В - карлеманов-ский оператор. Теорема 1.3.I доказана.
Отметим, что цепочка (1.2.3), где р(х) £ С((К ) и сходится ряд в неравенстве (1.3.5), пригодна для любого оператора В » удовлетворяющий условиям теоремы 1.3.I.
Пусть А - самосопряженный полуограниченный снизу карлеманов-ский оператор в пространстве ^ (В, О^и(ЗС)) , а ос (Я) -соответствующая функция. Пусть для любого "і 6 (Р-И! существует такое, что
х -ія
И*)| (Я£Ъ(А)). (1.3.8)
Согласно лемме 1.2.3 при каждом і £ (0,1] оператор
-іАл I I и .... / ... А І /Ґ>
0+е“іЛ0 : Ь (К, р(ъ)с1/1(ос))—* у р(эс)с1/и(ъ))
является интегральным. Пусть - интегральное ядро
оператора
Определение 1.3.I. Будем говорить, что самосопряженный полу-оГраниненный снизу карлемановский оператор А удовлетворяет условию полугрупповой позитивности, если выполнено неравенство (1.3.8) и для каждого І€(0,1] - почти для всех
Теорема 1.3.2. Пусть А - самосопряженный полуограниченный