Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами

• Автор: Калитвин, Владимир Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 132 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА-

ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

§1. Основные свойства линейных операторов с частными

интегралами

1.1. Действие и непрерывность

1.2. Пространства операторов с частными интегралами

1.3. Условия нетеровости и фредгольмовости

1.4. Обратимость и резольвента

§2. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами
2.1. Операторы Вольтерра с одномерными частными интегралами
2.2. Операторы Вольтерра с частными интегралами в С (Г х Б)
§3. Линейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными
интегралами
3.1. Операторы Вольтерра-Фредгольма с одномерными частными интегралами
3.2. Операторы Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами в С(ТхЯ)
3.3. Операторы Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами
ГЛАВА II. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
§4. Нелинейные операторы с частными интегралами в пространстве
непрерывных функций
4.1. Действие, ограниченность, непрерывность и равномерная непрерывность операторов Урысона с частными интегралами
4.2. Условие Липшица и условие Гельдера
4.3. Дифференцирование операторов Урысона с частными интегралами
4.4. Операторы Гаммерштейна с частными интегралами

§5. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами
5.1. Нелинейные операторы Вольтерра с частными интегралами в С([а,*]х[с, 5.2. Случай пространства С(ГхУ)
§6. Нелинейные операторы Вольтерра-Фредгольма с частными
интегралами
ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА И ВОЛЬТЕРРА-
ФРЕДГОЛЬМА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
§7. Линейные уравнения с частными интегралами в пространстве
непрерывных функций
§8. Линейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с
частными интегралами
8.1. Уравнения Вольтерра с частными интегралами
8.2. Уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
8.3. Уравнения Вольтерра-Фредгольма-Романовского с частными интегралами
§9. Нелинейные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с
частными интегралами
9.1. Нелинейные уравнения Вольтерра с частными интегралами
9.2. Нелинейные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами
§10. О применении уравнений с частными интегралами к изучению
математических моделей некоторых прикладных задач
10.1. Приложения линейных уравнений с частными интегралами
10.2. Применение нелинейных уравнений с частными интегралами к изучению математических моделей некоторых задач теплоизлучающих тел
§11. О приближенном и численном решении уравнений с частными
интегралами
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. К интегральным уравнениям Вольтерра с частными интегралами м

::(£, з) = / /(£, в,т):г(т, + / т(£, 5,сг)ж(£,(7)£?(Т+
«/а .'»/с .
JJп{1,8,т,а)х(т,а)(1тйа + /(£, в) = (.Кцс)^, я) + /(£,«)
(0.1)
приводятся различные проблемы дифференциальных уравнений с частными производными [9, 12, 63], теории упругих оболочек [9] и другие задачи [9, 14, 63].
Интегральные уравнения Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами

г(£,д) = I /(£, з,т)х(т, в)с1т + J тп(Ъ,8,о)х{р,а)(1а+ JJ п(1,з,т,о)х(т,а)<1т(1(Т + = (К2а:)(£,я) +/(£,й)
(0.2)
обобщают уравнения Вольтерра с частными интегралами и находят многочисленные приложения при исследовании задач механики сплошных сред [5, 26, 57, 82, 83], осесимметричных контактных задач [1, 2, 4, 11, 26, 58, 61, 62, 82, 83], смешанных задач эволюционного типа [3, 26, 82, 83], интегро-дифференциальных уравнений Барбашина [83].
В уравнениях (0.1) и (0.2), & — одно из множеств [а,£] х [с, в],[а,£] х [с,<£],[а,Ь] х [с,й] и [а,£] х [с,я],[а,£] х [с,й],[а,Ь] х [с,5],[а,Ь] х [с,с?] соответственно, 1,тп,п, / — заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.
Разрешимость и свойства решений уравнений (0.1) и (0.2) зависят от пространств, в которых изучаются эти уравнения, и свойств операторов К и Кч в выбранных пространствах. Так как оператор К содержит интегралы с переменными пределами интегрирования, а Кч — с переменными и постоянными пределами интегрирования и интегралы, в которых ж(£, я) интегрируется по части переменных, то К называют оператором Вольтерра, а Кч — оператором Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Принципиальное отличие операторов с частными интегралами от интегральных операторов связано с тем, что они не являются компактными в пространстве

Аналогично показывается, что ||/ ||с(х1(т)) < 6 < 1 (^ = 3,4,... ). Следо-
вательно, ряд Еы^(^5>т) сходится в банаховом пространстве С{Ь1{Т)), а его сумма есть непрерывная в целом и интегрально ограниченная функция. Полагая

п(М,т)=^/ (М,т) (1.22)

и учитывая (1.21), получим
(/ — Ь)~1х(1,з) = х(Ь, в) + ! т^!(4,8,т)х(т,з)(1т. (1-23)
Уравнение (1—Ь)х = } & (1—Ь—{Ь—Ь))х = / & (I—(I—£)-1(£—Ь))х = (I — Т)-1/- Так как
(/ — Ь)~1(Ь — Ь)х(Ь, в) = ^ 1(Ь, з,т)х(т, э)(1т+
+ £ г 1 (1, я, Т) ^ Т(т1,8,т)х{т,з)(1т^<1т1 = !'Y^li(t,s)ai{т)x(т,s)dт+
+ !т ^ММ,п) 5^«(ТЬ х(т,в)йт =
-Ш »(*»в) + а,-(г)ж(т, в)с/г,
то уравнение (/ — Т)ж = / равносильно уравнению (/ — Т)ж =.<71 с вырожденным ядром, в котором
Г Р ~
(Тж)(/)= / ^/,(/,5)афг)ж(г,в)с/г,
•':г 1=
£(«, в) = /,(£, 5) + / Г1(/, 3,Г1)/,(т1,5)с/тЬ

91(1, «) = /(*, «) + г)/(г> в)йг-
Как и выше, уравнение (/ — Ь)х = 51 связано с системой

»«•(*)-Ё^л(в)«»(в) = Л(®) (* = 1»■■■»?)» (!-24)