Метод фазовых интегралов в исследовании асимптотик собственных значений несамосопряженных задач

• Автор: Туманов, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил

Оглавление
Введение.
0.1. Дополнение
1. Асимптотические формулы для вещественных собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с двумя точками поворота
1.1. Введение
1.2. Граф Стокса
1.3. Канонические пары решений
1.4. Формулы перехода
1.5. Асимптотика собственных значений
2. Предельное поведение спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда
с потенциалом х2
2.1. Введение
2.2. Общие замечания о спектре
2.3. Граф Стокса
2.4. Предельный спектральный граф операторов Ь(є)
2.5. Поведение спектра при є —»
2.6. Дополнение
3. Предельное поведение спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда
с произвольным квадратичным потенциалом
3.1. Введение
3.2. Постановка задачи и общие замечания о спектре
3.3. Топология графа Стокса *(д2 - А)
3.4. Предельные спектральные кривые
3.5. Поведение спектра при є -»
4. Локализация спектра задачи Орра-Зоммерфельда для больших чисел Рейнольдса
4.1. Задача Орра-Зоммерфельда

ВВЕДЕНИЕ

Свое развитие данная теория получила в работах Евграфова М.А. и Фе-дорюка М.В. [8], [21]. Там же можно найти подробную библиографию по этому вопросу.
Сложность анализа асимптотического поведения решений уравнения Штурма-Лиувилля зависит от свойств потенциала д(х)- Даже, казалось бы, в самых сильных ограничениях на потенциал — требовании его аналитичности — спектр оператора Штурма-Лиувилля имеет сложную структуру. Методология, применяемая в данной работе, позволяет разделить комплексную область на ряд областей, в которых асимптотическое поведение решений описывается достаточно просто. Такими множествами являются области, ограниченные соседними линиями Стокса. Последние определяются как 0-линии уровня функции
Б (г, а) = Ие | у/ДО

где а — некоторый ноль потенциала. В рамках данной теории такие точки называются точками поворота потенциала в связи с тем, что в них асимптотические решения уравнения Штурма-Лиувилля имеют точки ветвления.
Далее строятся расширения указанных областей до так называемых канонических — максимальных областей, в которых сохраняется асимптотическое поведение решений. Как было отмечено выше, исследование поведения решений в канонических областях практически не представляет сложной задачи. Для анализа поведения решений в остальных точках комплексной плоскости строятся так называемые матрицы перехода, которые позволяют связать различные канонические области. Как оказалось [21] существует четыре стандартных матрицы перехода, через которые можно выразить все остальные возможные.
Таким образом, в сущности, метод состоит из двух этапов, которые называются ’’топологический” и ’’алгебраический”. Суть первого состоит в анализе топологии графа Стокса потенциала. Если же последний зависит от параметра (как в главах 2 и 3), то потребуется изучение изменения топологии в зависимости от параметра. При этом важно следить за равномерностью асимптотических формул. Второй же этап заключается в построении базиса в простанстве решений на всей комплексной плоскости с использованием матриц перехода и результатов первого этапа.
Дадим ряд определений и утверждений, которые будут использоваться
ВВЕДЕНИЕ

нами в дальнейшем для произвольной аналитической функции р(г). Основная их часть взята из работ [21] и [8].
Далее мы даем общепринятые в литературе определения. Они не вызывают сомнения с интуитивной точки зрения, но их математически строгое изложение требует дополнительных пояснений. Чтобы не отвликаться на детали мы приняли решение провести пояснения в дополнениях. В частности, по поводу определений линий, комплексов и графов Стокса смотри дополнении (раздел 0.1).
Определение 0.1. Точками поворота порядка функции р называются ее нули. Точка поворота го функции называется простой, если она является ее простым нулем. Порядком точки поворота называется кратность ее как нуля функции р.
Для любой точки поворота го можно ввести многозначную функцию:
Б(г,г0) — / л/КС) ^С-
Замечание 0.1. Всюду в работе функция Б(г, го) рассматривается в односвязных областях, не содержащих внутри точек поворота. Контур интегрирования предполагается лежащим внутри области определения Я, а точка го — на ее границе. Выбор одной из двух ветвей Б в областях такого типа либо дополнительно оговаривается (в работе рассма-тиваются так называемые ’’канонические” ветви Б), либо не является существенным, в связи с чем опускается в формулировках.
Определение 0.2. Линией Стокса функции р, выходящей из точки поворота го, называется кривая, выходящая из го, вдоль которой
Я .ев (г, го) = 0.
Кривая, задаваемая уравнением 1т^(г, го) = 0 называется сопряженной линией Стокса.
Определение 0.3. Комплексом Стокса функции р называется всякое максимальное связное множество, состоящее из линий Стокса. Комплекс Стокса называется простым, если включает лишь одну простую точку поворота. В противном случае комплекс называется сложным.
Отметим, что из определения простого комплекса Стокса следует
ГЛАВА
Асимптотика собственных значений

Теперь можно расписать характеристический определитель и получить уравнение:
= ^12^5 (^2) + <^22^5 (61)^71(62). (1.3)
Очевидно, что Ие 51(62) > 0 и Яе 55(61) < 0, то есть
Яе(-54(61)+51(62))
— наибольшее из чисел Яе(±54(61) ± 51(62)), где первый и второй знаки выбираются произвольно. Вывод: в (1.3) главным является слагаемое <^22^5(^1)161(62), таким образом, при больших значениях и это уравнение эквивалентно более простому: и>2г = 0, или
«56/024 с2ша + «23«24/?45 _ ^
«12/?64 /
что, в свою очередь, эквивалентно
024 «56 «31 2%иа
«24 /?64$15 /З12/З
(1.4)
Удобно ввести обозначения: orj, = а^ 7[0l,e2] — замкнутый контур в Q, обходящий отрезок [ai, 02] в направлении против часовой стрелки.
Теорема 1.1. При и —у +оо имеет место следующее асимптотическое уравнение на положительные собственные значения оператора Штурма-Лиувилля с двумя точками поворота:
00 1 Г
е2та х _ехр £ I akdt ^ ^
к=1ику,
К Ц*1 »°2І
Доказательство. Следует из уравнения (1.4) после подстановки асимптотических формул для всех ау и /3^, введенных в разделе 1.4. Действительно, рассмотрим уравнение
е2та _ «24 /^64^45 РгАз -
/?24 «56 «
Для чисел осц и /Зц известны асимптотические представления в виде рядов.
В качестве коэффициентов при степенях и~к в асимптотических разложениях стоят интегралы / (И, где ветвь а]!' легко определяется в