Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца

• Автор: Лукъяненко, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 108 с.

1 Вспомогательные результаты и константы Лебега
1.1 Основные понятия
1.2 Свойства систем Виленкина
1.3 Константы Лебега по системе Виленкина
2 Сходимость рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца
2.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения
2.2 Сходимость простых рядов Фурье-Виленкина
2.3 Сходимость кратных рядов Фурье-Виленкина
Список литературы

Хорошо известно[6,9], что если функция / е Ьр, (1 < р < оо), то ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Ьр и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство
ш/)Цр<адцР1(1<р<оо).
Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина.
В работе Янг Восанг [40] было доказано, что для частичных сумм Фурьс-Виленкина выполняется аналогичное неравенство и, следовательно, система Виленкина является базисом в Ьр для 1 < р < оо. Причем этот результат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений па образующую последовательность системы Виленкина.
Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Ьр и Ьх или Ь и Ьр
Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича [13,23,32,39], лежащих между Ь и Ьр.
В монографии А. Зигмунда [9] для классов Орлича где <р(и) = иа(и) и а (и) слабо колеблющаяся функция, доказано, что если

/ Є Ьр(0, 27г), то

/^(іад-/о * -*• о,

где <5?(м) = н / і~2<р(ї) (ІЇ (ем. [9], гл. 12, теорема 4.39)
Схожая проблема рассматривалась в статье Файна и Ткебуча-вы [29] для сепарабельных пространств Орлина Ь^. (Заметим, что сепарабельность пространств Ьр равносильно тому, что для функции (р выполняется условие Дг, а именно: <р(2х) < цр(х)). В этой работе Файна и Ткебучавы вопросы сходимости были рассмотрен-ны для систем Виленкина, образующие последовательности которых ограничены. Было доказано, что если функция / Є Ь$, где

р{и) = и /Г '2<р(і) сИ, то Фурье-Виленкина сходится к ней по норме
более широкого пространства Ь^.
В работах Лукомского С.Ф. [33,34] был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича, лежащих между Ь и Ьр.
В работе [15] были определены пространства ЬРА(д,Т) (р > 1,0: > 0), как пространства измеримых па [О, Т функций, дли ко-

Так как нормы, определенные равенствами (2.1.10) и (2.1.12), эквивалентны, то, учитывая все выше сказанное и эквивалентность норм, получим:
115»(/)И1,, - 1Н5»(/)1Н|Л = £ )
< / 11^'п(/)1Ь+Л _ у^ / Щ/)ЦЛ <
ы / ыФ(Й/ "
5|‘*щ‘1(тш‘)'5|1+ад,5(
< = ст/пи,, < с(ф,„) ц/111,, .□
Из последней ТвОреМЫ очевидно следует
Теорема 2.2.2. Если / е Лф1(/, то //яд Фуръе-Виленкииа функции / сходится в более широком пространстве / £ Л-^.
Доказательство. Так как ступенчатые функции (т.е. мнш'очлены по системе Виленкина) образуют плотное в Лф)9 множество, утверждение теоремы обычным образом вытекает из теоремы 2.2.1.П
При наложении на рост функции Т некоторых ограничений, можно доказать точность данного результата.