Случайные и специальные полиномы по общим функциональным системам

• Автор: Григорьев, Павел Геннадиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с.

Оглавление

Некоторые используемые обозначения

Введение

1. Случайные полиномы

по системам функций из Ьр при р > 2

1.1. Интегрально-равномерная норма

1.2. Нижияя оценка норм случайных полиномов

2. Случайные линейные комбинации функций из 1-і

2.1. Оценка сверху

2.2. Кижние оценки норм случайных полиномов по системам функций

из //)
2.3. Приложение и нерешенные проблемы
3. Некоторые специальные полиномы
3.1. Колмогоровские поперечники и 5-энтропия соболевских классов функций в Л-*,
3.2. Об одной последовательности тригонометрических полиномов
Литература
Некоторые используемые обозначения
Р(С/) — вероятность события U, см. [52].
Е£ — математическое ожидание случайной величины £, см. [52] (Е£ ^ с/Р).
D(£) дисперсия случайной величины £, см. [52] (D(£) := Ej£|2 — (Е£)2).
cov(£,?/) := {Е[Cj — E£j)(m — Еi]k)}dk=] — ковариационная матрица случайных векторов ( = (|,)f И Г) = (»Jig.
/ — 0(?0 с некоторой константой А (/, д -вещественные или комплексные последовательности).
Q >^'Н: AiQ{m) А H{vj) A A2Q{io) с некоторыми не зависящими от параметра w £ W положительными константами Л|, .4.2 — для вещественнозначных функций Q, И, определенных па некотором абстрактном множестве W. Если И С N, то выполнение соответствующих неравенст в требуется только ‘‘начиная с некоторого места1’ — для всех w А Ho-
п.в. “почти всюду11 или ‘‘почти всех11 (за исключением множества нулевой
меры или вероятности).
п.н. - “почти наверное11 (за исключением события нулевой вероятности).
[I/ll,, (Jw |/(и?)|рс//<(ш))1 Р при 1 ^ i> < ос — Lp-норма функции / на (IF,//).
|]/||к. — ess sup f{w) := inf {A > 0 : f{w) А А для п.в. w G И’}.
we»' ‘
l!/||i/).,iv — интегрально-равномерная норма, см. (1.1) стр. 12.
ll/ll; : . 11.4i стр. 13.
||/!i;„ : см. (1.5) стр. 13.
[,r] - целая часть вещественного числа .г.
log х — натуральный логарифм вещественного числа х > 0.
(и, w) — скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве.
М :== (ICjLi tel2)1/2 для v - (e/)i £ или ^■
Введение
Диссертация посвящена исследованию полиномов (конечных линейных комбинаций) по общим и специальным функциональным системам. Необходимость исследования свойств различных полиномов возникает при решении многих задач анализа- и теории приближений. Так, большинство теорем вложения могут быть сформулированы в виде утверждений о поведении полиномов с некоторыми экстремальными свойствами, а отсутствие вложения одного нормирован кого пространства в другое обычно доказывается демонстрацией “количественной” разницы порядков норм в этих пространствах на экстремальных в определенном смысле полиномах. Такие полиномы строятся либо с помощью какой-нибудь специальной конструкции, либо с помощью некоторой процедуры усреднения, показывающей, что “большинство типичных” (“средних” или “случайных” в определенном смысле) полиномов обладает некоторым свойством. Стоит отмстить, что свойства полиномов отражают не просто различие двух нормированных пространств, а различие целой последовательности их общих конечномерных подпространств — полиномов порядка не выше п. Поэтому утверждение о поведении норм полиномов содержит значительно больше информации в сравнении о результатом о том, что одно нормированное пространство не вкладывается в другое.
Внесем некоторую ясность в терминологию. Пусть {/,)”_■, — некоторая система, функций на пространстве с мерой (Л //.). Мы будем называть случайным полиномом но системе {/»}” или полиномом со случайными коэффициентами линейную комбинацию следующего вида:
Шш. *) := £ а£№Шд> (1)

где “случайные коэффициенты” {&}£_1 — набор независимых случайных величин на вероятностном пространстве ($1, Р), а “неслучайные коэффициенты” набор комплексных чисел. Нас будут интересовать свойства случайной величины ||/’„(ил ОЦклдф где II ' ||т — норма в некотором пространстве функций Ь ыа (.V, д).
Одним из классических результатов, позволяющих, в частности, исследовать свойства, случайных полиномов (1), является неравенство Хинчнна. Приведем его в следующей форме:
интервалов -), показывает важность условия равномерной ограниченности для нетривиальных нижних оценок равномерной нормы случайных полиномов.1 Раньше, как правило, оценки равномерной нормы случайных полиномов доказывались в предположении равномерной ограниченности базисных функций {/;} в Ь2+е.
Условие равномерной ограниченности в формулировке теоремы 1.2 происходит из условия ограниченности третьего момента случайных величин в используемой версии центральной предельной теоремы — предложении 1.3 (или ограниченности их р-го момента при р > 2, если вместо предложения 1.3 мы пользуемся следствием 18.3 ртз [6]). Точнее, для доказательства оценок (1.11), (1.12) (а ранее в [21], [23] для доказательства оценок (б), (8)) выделялось достаточно большое множество Е С X, на котором, в частности, выполнялось неравенство:
с некоторым с > 0. Это неравенство требовалось для оценки погрешности в нейтральной предельной теореме.
В этом параграфе оценки типа (1.11), (1.12) получены для случайных полиномов вида
(2.6)
по системам функций {/г-)”, нормированным в Ь. При этом вообще не предполагается их ограниченность в Ьр при р > 1, а. вместо условий (а), (Ь*) требуется выполнение следующего условия:
(d) ||/і||і = 1 для всех г — 1, ■ • ■ , п и
I ]С ^/'||і ^ Мп2+Р для всех наборов знаков 0; = ±

с некоторыми постоянными р € [0,рЭ, .V/ > 0. Справедлива следующая
Теорема 2.2. Предположим, что система интегрируемых функций определенных на вероятностном пространстве (Х,р), удовлетворяет условию (d), причем р € [0, -pj), а для независимых случайных величин определенных на другом вероятностном пространстве (12, Р), имеет место2 Е& = 0, Е|&|2 = 1 и E|(ft-[3 ^ М3. Тогда при любом т ^ п для случайного полинома (2.6) имеет место неравенство:
р(ш t Si : ||C(w,.l-i||,„,« < СлСп- (1 + login)} « —, (2.7)
I J тЯ
и, следовательно,
Е|| ^i.fiЦт.сс ^ Cfi(n ■ (1 + logm))1/,_ (2.8)

с некоторыми константами q = q(p) > 0, Cj = Cj(p, M) > 0, j — 4,5, 6.
'Однако, если нормировать индикаторы Xi Г! го, разумеется, никаких трудностей с
нижней оценкой не возникнет. Это показывает, что все-таки для выполнения нетривиальных нижних оценок пересечение носителей может быть не столь существенно.
"’Как и раньше, свойство Е|£;|3 <С М3 можно ослабить до Е|£;|2+г ^ М (см. замечание 1.4).