Задача Дирихле для некоторого класса эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях

• Автор: Мазепа, Елена Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 124 с.

Содержание
0 Введение
1 Краевые и внешние краевые задачи
1.1 Общие свойства эллиптических дифференциальных операторов второго порядка
1.2 Задача Дирихле
1.3 О задаче Дирихле на римановых многообразиях специального вида
1.4 О взаимосвязи между разрешимостью краевой и внешней краевой задач
1.5 О разрешимости краевых задач для уравнения Шрёдингера
при изменении коэффициента с(х)
2 Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специального вида
2.1 О разрешимости краевых задач уравнения Шрёдингера
2.2 О разрешимости краевых и внешних краевых задач на
римановых многообразиях специального вида
2.3 Примеры
3 О поведении ограниченных решений на римановых произведениях
3.1 Некоторые краевые задачи для уравнения Шрёдингера
3.2 О разрешимости задачи Дирихле на римановых произведениях

Глава О Введение
В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лаппаса-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных ученых математиков: М. Андерсона, Е.М. Ландиса, Л. Нирен-берга, O.A. Олейник, H.H. Уральцевой, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, С.Т. Яу, A.A. Григорьяна, В.Г. Мазьи, В.М. Миклюкова, Н.С. Нади-рашвили, П. Ли, А.Г. Лосева и ряда других авторов. Обзор классических и современных методов теории эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными представлен в известных монографиях Р. Куранта, Д. Гильберта [18], O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой [19], Л. Хёрмандера [42], Е.М. Ландиса [20], Д. Гилбарга, Н. Трудингера [8].
Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке дифференциальной геометрии, математического анализа, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувипля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.
Классическая теорема Лиувилля утверждает, что всякая ограни-

ченная гармоническая в R” функция является тождественной постоянной. Однако класс полных многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно широк. Так, например, М.Андерсон [1] и Д.Сулливан [41] показали, что на полном односвязном многообразии с секционной кривизной, заключенной между двумя отрицательными константами, существует бесконечномерное множество нетривиальных ограниченных гармонических функций и, более того, разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической на таком многообразии функции по непрерывным граничным данным для случая идеальной границы.
В этой связи, важным является изучение на римановых многообразиях поведения решений уравнения А и — Хи = 0, А = const > 0. Известно (см. [14]), что существование ненулевого ограниченного решения этого уравнения эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия (многообразие стохастически полно, если стохастический процесс, ассоциированный с римановой структурой многообразия, имеет бесконечное время жизни).
В работах ряда авторов П. Ли, С.Т. Яу [21], A.A. Григорьяна [10], [11], A.A. Григорьяна, Н.С. Надирашвили [12], A.A. Григорьяна, У. Хансена [13], А.Г. Лосева [23], М. Мурата [37], [38] — решались аналогичные задачи для линейных эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лаппаса-Бельтрами, в частности, для стационарного уравнения Шрёдингера
Lu = Д и — с(х)и = 0, (0.1)
где с(х) — вещественнозначная неотрицательная функция.
Особый интерес представляет взаимосвязь между разрешимостью внешних краевых задач и структурными свойствами многообразия. Одним из важных результатов, относящихся к данному направлению, является теорема A.A. Григорьяна и Н.С. Надирашвили [12] об эквивалентности следующих условий:
а) на римановом многообразии М существует ограниченное отличное от постоянного решение уравнения (0.1);
б) на М В (где В — компакт в М с гладкой границей дБ, МВ связно) существует ограниченное отличное от по-

Лемма 1.8. Если многообразие М является А-строгим, то М является Ь-строгим многообразием.
Доказательство. Так как многообразие М является Д-строгим, то на М В существуют функция го, удовлетворяющие условиям
Аы = 0, %одв = 1, го € [0],
причем 0 < го < 1.
Пусть — некоторое исчерпание многообразия М такое, что
дВк — гладкие для всех к. Рассмотрим последовательность функций {фк}Т=1 являющихся решением задачи
Ьфк = 0 в ВкВ,
' Фк I дВ = . Фк IдВк = °‘
С учетом принципа максимума для всех к выполнено 0 < фк < 1, откуда следует равномерная ограниченность семейства функций {фк}!к-=] на М.
Из монотонности и равномерной ограниченности последовательности с учетом леммы 1.1 следует существование на М В пре-
дельной функции V = Пт/ь-.оо Фк, которая является решением уравнения (0.1) и удовлетворяет условию удв — 1.
Более того, имеют место следующие соотношения
Фк |дВ = и’дВ > Фк Iдвк — и!дВк > С1-6)
Ьгв = —с(х)ги < Ьфк в ВкВ. (1.7)
Тогда из (1.6) и (1.7) получаем
м > Фк> 0 в ВкВ.
Переходя к пределу при к —г оо, на М В получаем
0 < у < ги.
Так как ии ~ 0, то V ~ 0 и, следовательно, г» £ [0].
Таким образом, на М существует Т-потенциал компакта В, эквивалентный нулю, то есть М является Т-строгим многообразием. Лемма доказана.