Абсолютная суммируемость функциональных рядов

• Автор: Паллас, Лембит Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Тарту
• Количество страниц: 104 c. : ил

I.Настоящая диссертация посвящена главным образом изучению абсолютной суммируемости в пространстве измеримых функций числовыми матрицами, а также изучению абсолютной суммируемости почти всюду функциональных рядов определённым матричным методом, обобщающим некоторые классические методы суммирования.
Пусть матрица /?- (<2.^ «^осуществляет преобразование ряда в ряд. Обычно для числовых рядов абсолютную суммируемость определяют следующим образом.
Ряд1
И}* (0-1)

называется абсолютно суммируемым методом Л , если

13 |^|<«*=> !

* (0.2)
Начиная с конца XIX века вопросами абсолютной суммируемости занимались многие математики. Понятие абсолютной сум-мируемлсти введено Э. Борелем [34] для одного из его методов. Абсолютная суммируемость применялась первоначально при исследовании суммируемости степеных рядов вне круга сходи-мости. Общее определение абсолютной суммируемости возникло
^Если пределы изменения индексов не указаны, то они принимают все целочисленные значения ОТ 0 ДО оо.

позже и получило широкое применение в исследованиях по суммированию рядов Фурье.
С общей точки зрения изучение абсолютной суммируемости несколько сложнее изучения обыкновенной суммируемости, так как сопряженное пространство абсолютно сходящихся рядов несепарабельно. С другой стороны, многие оценки для абсолютной суммируемости и для специальных преобразований выявляют параллели между обыкновенной и абсолютной суммируемостью.
Большую роль в теории абсолютной суммируемости имеет изучение абсолютной суммируемости рядов Фурье по ортогональным системам функций классическими методами суммирования (методами Чезаро, Рисса, Вороного-Нёрлунда итд.). Начало этому
В начале шестидесятых годов начали появляться работы, исследующие абсолютную суммируемость произвольных ортогональных рядов. Работы в этом направлении принадлежат в основРешение многих проблем теории рядов сводится к применению необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять разные линейные или билинейные матричные преобразования одних классов последовательностей и рядов в другие классы. Часто теоремы, дающие такие необходимые и достаточные условия, называются теоремами включения. Классическими теоремами включения для абсолютной сходимости являются теоремы Хана [37] , Кноппа-Лоренца [39^ и Пейеримхоффа [51^.
Вопросы обыкновенной и абсолютной суммируемости можно изучать с единой точки зрения и тем самым развивать теорию суммирования также для других видов суммируемости (равнонаправлению положили своими работами лянц
Когбетном советским и венгерским математикам (например
[41]. [54]).

мерная суммируемость, суммируемость в среднем итд.) функциональных рядов, если рассматривать вопросы суммируемости рядов в произвольном банаховым пространстве или в более общих пространствах, т.е. вопросы суммируемости абстрактных рядов.
В 1956 Г. Кангро [10] обобщил теоремы Хана и Кноппа-Лоренца для линейных преобразований абстрактных последовательностей и рядов в произвольном банаховым пространстве. Для следующей степени общности, т.е. для рядов в произвольном пространстве Фреше,теорему Кноппа-Лоренца обобщил Вуд [бб].
2. Актуальность темы. Несмотря на большое количество работ, опубликованных по абсолютной суммируемости в банаховых пространствах и по абсолютной суммируемости рядов Фурье, имеется по сей день очень мало работ, касающихся абсолютной суммируемости в нелокально выпуклых топологических векторных пространствах, хотя такие вопросы представляют интерес не только с точки зрения абстрактных ТВП, ибо на такой
ступени общности выявляются и некоторые новые аспекты. В то же время вопросам обыкновенной суммируемости в нелокально выпуклых ТВП уделено значительно больше внимания. Проблемы обыкновенной суммируемости в нелокально выпуклых ТВП рассматриваются например в работах [4], [м], [15], [17] и [45].
Понятие абсолютной сходимости в нелокально выпуклых ТВП ввел Лиго £43^ в 1976 году. В данной работе изучается абсолютная суммируемость в пространстве измеримых по Лебегу функций, исходя именно из определения Лиго.
Одна проблема, которая до сих пор не имеет решения, -эта проблема нахождения эффективных необходимых и достаточных условий для того, чтобы матрица А-(&гьк) переводила любой элемент из в некоторый элемент из С /г, <£>'/.
В настоящей диссертации эта проблема будет решена для

типа ищ сл (МП . Для этого положим
(£к,
40,
если
- (5.6)
если п?к.
Тогда
Л*=| п »-о 10,
если Кб внесли К,>УУ1.
Для матрицы А , определённой равенством (5.6), преобразование (5.3) имеет вид
(■£) = £ц Ц~) •
Далее, для матрицы (5.6) условие (5.4) всегда выполнено, так как
іоуі/ 23і /с-О/^Я,... ■
ж. п
Из условии (5.5) получаем, что ек -ои) для к>- 0/^2,... Наконец, так как (5.6) диагональная матрица, то во всех столбцах все частичные суммы, начиная с К -ого, где /С номер столбца, будут равняться . Следовательно, для того, чтобы ({к.^к,)£Сл(М) для всех , по условию 3*теоремы 5.2 необходимо и
достаточно, чтобы только конечное число элементов в последовательности Ык) отличалось от нуля. Итак, доказана.
Теорема 5
Цїк^ісШ
сходится по мере для любого (|к4£(М]тогда и только тогда, когда ОЫ) ,16-0//і12.1... и только конечное число элементов в последовательности (<£ю) отлично от нуля.
Тем самым решена и задача, поставленная в начале данного параграфа.