Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. Неванлинны

• Автор: Беднаж, Вера Аркадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 116 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Кратная интерполяции в некоторых классах аналитических
в круге функций
§1.1.0 кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида... 15 §1.2. Решение задачи кратной интерполяции в классах аналитических
в единичном круге функций конечного порядка и нормального типа
вблизи единичной окружности
§1.3. Построение линейного оператора, решающего задачу
кратной интерполяции в классах голоморфных в единичном круге
функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности
ГЛАВА И. Характеризация главных частей в разложении Лорана мероморфных функций с ограничениями
на характеристику Неванлинны
§2.1. О характеризации главных частей функций, принадлежащих классу
Неванлинны - Джрбашяна
§2.2. Об инвариантности класса А“ относительно оператора
дифференцирования
§2.3. О характеризации главных частей функций, принадлежащих
классу А*
§2.4. О некоторых задачах в классах И.И. Привалова
§2.5. О характеризации главных частей функций конечного порядка
и нормального типа в окрестности особых точек
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В комплексном анализе особое место занимает теория мероморфных функций. Систематическое построение этой теории связано с классическими работами Р. Неванлинны. Методы теории мероморфных функций имеют многочисленные приложения не только в теории функций, но и в других областях математики. Поэтому открытие новых закономерностей справедливых для важных подклассов классов мероморфных функций является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ряд важных проблем в теории классов мероморфных функций сводится к решению интерполяционных задач в соответствующих классах голоморфных функций. Теория интерполяции в классах голоморфных в круге функций интенсивно развивалась после основополагающей работы JI. Карлесона о свободной интерполяции в классе ограниченных аналитических в круге функций. В течение нескольких последних десятилетий удалось разрешить много задач такого рода как в более широких классах голоморфных функций, чем класс ограниченных аналитических функций, так и более узких классах: классах аналитических в круге функций гладких вплоть до его границ. Здесь, прежде всего, отметим фундаментальные работы Г.Шапиро, А. Шилдса (см.[53]), С.А. Виноградова, Е.М. Дынькина (см.[20]), H.A. Широкова (см.[37]), А.М. Коточигова (см.[21], [22]), К. Сейпа (см.[51]). Эти результаты изложены в хорошо известных обзорах С.А. Виноградова, В.П. Хавина (см.[12]), в монографиях К. Гофмана (см.[13]), П. Кусиса (см.[23]), Д. Гарнетта (см.[14]), X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу (см.[46]).
Однако решение задач такого рода в классах функций с различными ограничениями на характеристику Р. Неванлинны мало изучены.
Цель работы. 1 )Найти явное решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида и в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип.
2)Построение линейного оператора, решающего задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности.
3)Установить, что класс мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный положительный порядок и нормальный тип, в отличие от класса Р. Неванлинны, инвариантен относительно оператора дифференцирования.
4)Получить описание главных частей в разложении Лорана мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип, а также в классах мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна.
5)Описать главные части в разложении Лорана мероморфных в конечной плоскости функций конечного порядка и нормального типа в окрестности особых точек.
Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа. Важную роль играют факторизационные представления исследуемых классов.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
- найдено в явном виде решение задачи кратной интерполяции в пространстве функций ограниченного вида;
- найдено решение задачи кратной интерполяции в классе аналитических в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип;
- построен линейный оператор, решающий задачу кратной интерполяции в классах аналитических в единичном круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности;
- получена характеризация главных частей мероморфных в единичном круге функций, имеющих вблизи единичной окружности конечный порядок и нормальный тип и мероморфных функций, принадлежащих классу Неванлинны - Джрбашяна;

1 — Гі,Є х
р ґ

=(гі,'Г'Ке

V V у
и в силу леммы (см.[34])

1-пе

сіігкгУ
Таким образом,

у-аке

1-(гкгУ

(1-г*) + 4зіп
Используя равенство, г

= 2 яіп
втл ~ <Рк
имеем
2р-ътр-
втп ~<Рк

в _т V с
(, л2 . 2 т0 тк
(1-г*) + 4вш
а _т Р (л 2 л 2 т0 к (1-Г*) +481П —
Со -1>

1 2 и 2 ®т0 Фк
(1-г*) +451П —*

2-%Г (!-Г

(1-дГ
но так как а.
єГК).

-<рк
і1~гк)
Учитывая последнее неравенство, получим