Семейство фредгольмовых операторов, комплексов и К-теория булевых алгебр с замыканием

• Автор: Байрамов, Сади Андам оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 109 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. К-теория на категории булевых алгебр с замыканием

§1.1. Расслоения над булевой алгеброй с замыканием

§1.2. К-теория булевых алгебр с замыканием

§1.3. -теория булевых алгебр с замыканием

§1.4. К-теория на категории дистрибутивных решеток

ГЛАВА II. Семейства фредгольмовых операторов и комплексов

» I '->0

§2.1. Семейство фредгольмовых операторов и К-теория

булевых алгебр с замыканием

§2.2. Пространство фредгольмовых комплексов

§2.3. Семейство фредгольмовых комплексов
ЛИТЕРАТУРА

Хорошо известно,что К-теория восходит к проблеме индекса эллиптических операторов на многообразиях.Данная Атья и Хирцебрухом tHl, Е5] ,развитая Адамсом,Милнором L2J, [3], [26] ,Каруби и Вильямайором CZ3] ,А.С.Мищенко,В.Бухштабером ££47, £137и др., К-теория стала,с одной стороны,мощным орудием алгебраической топологии,собственно в линейной алгебре над /произвольными/ кольцами,и,с другой стороны,эффективным методом в функциональном анализе,в частности, в проблеме индекса семейств операторов на многообразиях £167, £317.
Связь топологической К-теории с теорией фредгольмовых семейств операторов была независимо установлена Атья и Ёнихом £77. Эта связь,в частности,выражается в том,что пространство 9~(/77 фредгольмовых операторов,действующих в гильбертовом пространстве Н> является классифицирующим пространством,а сама группа К(Х) Гро-тендика выступает в качестве группы полных гомотопических инвариантов семейств фредгольмовых операторов на топологических пространствах, выступающих в качестве индексов этих фредгольмовых семейств.
В дальнейшем К-теория,как экстраординарная теория когомологий, была распространена на возможно более широкий класс топологических пространств LS1, [jt/] .С другой стороны,развитие теории индекса для фредгольмовых операторов приводит к необходимости построения теории индекса семейств фредгольмовых операторов на некомпактных пространствах,а также построение теории индекса семейств фредгольмовых операторов и комплексов как на топологических пространствах, так и семейств,индексированных более общими,чем топологические пространства объектами,наделёнными как алгебраическими,так и топологическими структурами.

В связи с этим заметим,что потребность различных приложений, а также внутренние потребности развития функционального анализа приводят к необходимости перехода от исследования операторов и семейства операторов к исследованию комплексов операторов и семейства комплексов операторов [307, С^г], [937, .
Потребности развития теории индекса семейств фредгольмовьтх операторов и комплексов,индексированных более общими объектами, чем топологические пространства,приводят к необходимости введения некоторого функтора так,чтобы значения индекса определялись бы этим функтором.
Так в качестве объекта параметров,наделённого как топологическими, так и алгебраическими структурами,можно брать булеву алгебру с замыканием,так как булева алгебра с замыканием тесно связана с обратными спектрами топологических пространств,что было доказано М.Р.Бунятовым [97.
С другой стороны,несомненный интерес представляет само по себе развитие как обыкновенной,так и обобщённой теории гомологий и когомологий булевых алгебр с замыканием,на что ещё в 40-е годы указал Г.Биркгоф [61.
Впервые проблема Г.Биркгофа была разрешена М.Р.Бунятовым.Им на категории абстрактных булевых алгебр с замыканием были построены теории гомологий и когомологий А.Н.Колмогорова Ш, [12] ,теория гомологий Александрова-Чеха А/я/ .М.Р.Бунятовым также были введены и исследованы основные понятия гомотопической теории непрерывных гомоморфизмов булевых алгебр с замыканием 117] .В последствии теории гомологий и когомологий были построены на категории дистрибутивных решёток и равномерных булевых алгебр.

композиции гомоморфизмов.
Проведя те же выкладки,что и при доказательстве теоремы о гомотопической инвариантности К-функтора на булевых алгебрах с замыканием,легко показать,что имеет место
ТЕОРЕМА 1.4.2. К-функтор на категории ХаЫг'ее является гомотопическим инвариантом.
Для построения точной последовательности для дистрибутивных решеток,как и в § 1.2 будем рассматривать категорию СТг - {(1,%?)) где I - решетка, ^ - фильтр решетки, Уг либо совпадает с
I ,либо же фильтр более тонкий,чем фильтр У,
Морфизмом тройки (2, 9, 9) в (С, 9 /") называется гомоморфизм /• I I' решетки,являющийся отображении троек /: (1,9, у) * (С у), Композиция определяется естественным образом как композиция отображений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4.2. Пусть 9 - некоторый фильтр.Семейство Ы({Ми2 элементов решетки / называется покрытием фильтра <р ,если верхняя грань этого семейства принадлежит 9 ■
./о/а) в
/е-Г
Легко видеть,что класс Сои(9) всех покрытий фильтра образует направленность по Муру-Смиту относительно вписанности покрытий
Более общим образам, семейство элементов = 9с/муее1 вместе с некоторым подмножеством 1'с 7 называется покрытием пары (9, У) если Ы 6 Сои (9) , ы/1, в Сои(У) .Класс всех покрытий пары (9, У) обозначим через Со и (9, 9)' СоиС9, 9) является направленным по вписанности множеством,когда 9 - фильтр,а 9 - либо-фильтр,либо совпадает с решеткой
Для упорядоченной тройки (I, 9, 9) аналогичными рассужде-