Исследование обратимости многомерных причинных операторов

• Автор: Скопин, Владислав Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Липецк
• Количество страниц: 120 с.

1. Линейные операторы в пространствах Лебега

1.1. Некоторые свойства пространств Лебега

1.2. Причинная и обычная обратимость

1.3. Основные примеры операторов

2. Эквивалентность причинной и обычной обратимости

2.1. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной

в конусе

2.2. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной

в полупространстве

2.3. Смешанный функционально-дифференциальный оператор

3. Свойства операторов на бесконечности

3.1. Ограничение причинного оператора на множество
3.2. Операторы, инвариантные относительно сдвигов
3.3. Операторы, имеющие пределы на бесконечности
4. Эквивалентность устойчивости и экспоненциальной дихотомии
4.1. Переход к операторной форме записи уравнения
4.2. Равномерная разрешимость начальной задачи
4.3. Операторы с экспоненциальной памятью
4.4. Эквивалентность экспоненциальной дихотомии
и устойчивости
Литература

Среди моделей окружающего мира можно выделить следующие два типа. Первый тип — модели “без памяти” или “без запаздывания”. В них поведение модели в текущий момент времени описывается только ее состоянием в этот момент времени, т.е. “в настоящем”. Иными словами, модель “не помнит” своего прошлого и “не знает” будущего. Второй тип моделей — модели “с запаздыванием” или “с памятью”, когда по-ведние модели в текущий момент времени определяется значениями ее состояний не только в этот, текущий, момент времени, но и в какие-то предшествующие моменты. Теоретически можно выделить и третий тип моделей, когда для описания текущего поведения используются еще значения состояний модели в будущем. Однако, такое описание не имеет физического смысла.
Наиболее широко используется первый тип моделей. Для их описания применяют функциональные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.
Настоящая диссертация посвящена, в основном, второму типу моделей. Отметим некоторые источники моделей такого типа.
Пусть дифференциальный оператор, описывающий систему без памяти, частично обратим, т.е. разлагается в произведение или в сумму нескольких частей, одна из которых обратима. Тогда, делая замену, использующую соответствующий обратный оператор (который, как правило, оказывается интегральным), получаем оператор с запаздыванием.
К моделям с запаздыванием часто приходят, исходя из экспериментальных наблюдений, в которых существенна разница между временем подачи сигнала на вход системы и его реальным попаданием на этот вход. В результате возникают уравнения, в которые неизвестные функции входят со сдвигом по времени.
Таким образом, модели с запаздыванием также достаточно распространены. Они широко применяются [3, б, 37, 38, 39, 61, 92, 94, 101, 124, 144, 153, 157] в теории авторегулирования, технике, электродинамике,

квантовой физике, биологии, экологии, медицине, экономике, теории вероятностей и др.
Явление, когда настоящее может зависеть от прошлого (и, возможно, от самого настоящего), но не может зависеть от будущего, называют [29] причинностью. Изучению этого явления и посвящена настоящая работа.
Математический объект, описывающий явление причинности — причинный оператор. Он действует в пространствах функций переменной £, интерпретируемой как время. В самом общем смысле оператор Т называют причинным, если для вычисления значения функции Тх в настоящем используются значения функции х только в прошлом (и, возможно, в настоящем). Классическими работами по теории причинных операторов и уравнений с ними можно считать следующие книги: [16, 66, 96, 116, 125, 139, 140, 149, 156]. Причинные операторы изучаются (часто независимо) в разных областях математики, и в силу этого для них имеется несколько различных названий — причинный, вольтерров (оператор типа Вольтер-ра), наследственный, запаздывающий, каузальный.
Формальное определение причинности, используемое в работе, заключается в следующем [76, 83, 113, 139, 145, 146, 149, 155]. Пусть X и У — банаховы пространства функций на М". Пусть в пространствах X и У определены подпространства Хг и У, индексированные одним и тем же семейством индексов £ € /. Обычно множество индексов I предполагается частично упорядоченным и при этом Ха Э Хь иУ„ 9 У6, если а < Ь. Линейный оператор Т: X —> У называют причинным, если
тхг СУ, (1)
Нас интересует случай, когда индекс £ можно интерпретировать как время — одномерное или многомерное. В этом случае подпространства Х1 и У состоят из функций, равных нулю до момента 1, а определение причинного оператора сводится к тому, что из равенства функций до некоторого момента £ должно следовать равенство их образов до этого момента, причем в многомерном случае (п > 1) необходимо уточнить смысл слов “до момента ’.
Покажем, что образ полуплоскости
{za + Л*: Re 2 > —1} = {za + Л*: 2 € D} = {si при действии преобразования Т(а §* + Ж" . Действительно, VI Й VI о л/2, не выходит
''cos а - sin a 0 0 . . о М
sin а cos а 0 0 . . 0
T(a)(sia + s2b + с) = 0 0 1 0 . . 0 «2

1 0 0 0 0 . • V w
+ с
+ с =(si cos a)a + (sx sin a)d -f s2b -f c.
(37)
I S1 COS Of
Si sin a
V 0 )
Осталось заметить, что векторы d, b и с принадлежат гЖ", а вектор a cos а принадлежит §* при 0 < a < 7г/2. (Говоря, что вектор из R2n принадлежит Ж”, мы имеем в виду, что первые п его координат в каноническом базисе IR2" нулевые.)
Далее, положив в (37) sx = 0, имеем T(a)(bs2 + с) = bs2 + с. Иными словами, Т(а) переводит прямую {za + Л*: Re 2 = —1} = {za + Л*: 2 6 8D} = {bs с. s G R} в себя при 0 < а < л/2. Здесь 8D означает границу {г б С: Re 2 = —1} полуплоскости D.
Очевидно, при любом а отображение Т(а) сохраняет расстояние, то есть ||Г(а)Ах - Т(<т)Л2|| = ||Ах - А2|| для всех Аь А2 G М2".
Из (37) следует также, что Т(л/2){sa + s2b + с) = Sid + s2b + с €Е Жп. Поэтому Т(л/2) переводит плоскость П внутрь гЖ".