Экстремальные свойства многочленов с ограничением на расположение нулей

• Автор: Акопян, Роман Размикович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 69 с.

Оглавление
1. Неравенства Бернштейна и Турана в #2 Для многочленов с нулями в замкнутом множестве.
1.1. Сведение задач о точных константах в неравенствах Бернштейна и Турана для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задачам для многочленов с нулями

на границе множества

1.2. Связь неравенств Бернштейна и Турана

1.3. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов степени п ^

1.4. Неравенства Бернштейна и Турана для многочленов с нулями на окружности: случаи точного вычисления констант
1.5. Неравенство Бернштейна для многочленов с нулями во внешности круга радиуса Я ^

2. Неравенство Бернштейна—Джексона из #2 в Н00 для

многочленов с нулями в замкнутом множестве.

2.1. Неравенство Бернштейна-Джексона из #2 в Ноо Для многочленов с нулями во внешности единичного круга
2.2. Сведение задачи о точной константе в неравенстве Бернштейна-Джексона из #2 в -йоо для многочленов с нулями в замкнутом множестве к задаче для многочленов с нулями на границе множества
2.3. Неравенство Бернштейна-Джексона из #2 в Ноо Для многочленов с нулями в замкнутом множестве: случаи вычисления точных констант

2.4. Неравенство из Щ в Нр, О ^ р ^ нулями в замкнутом множестве .
оо для многочленов с

Список обозначений
вр{ п, Ь, (?) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна в Нр для оператора Ь на множестве многочленов Тп{С)
С - расширенная комплексная плоскость <2(Я) = {гбС : г ^ Я}
К (Я) = {гЄС : г ^ Я}
5(Я) = {^Є€ : И = Я}
Тп — множество алгебраических многочленов степени не более чем п с комплексными коэффициентами
Сп - подмножество Тп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам 1к+і ^ |/*|, А; = 0, п —
С®п - подмножество Сп многочленов, коэффициенты которых удовлетворяют неравенствам |/&_і|2 + |^+і|2 ^ 2 1к2, к = 1,п —
Тп{С1) - множество многочленов из Тп, имеющих все п нулей во множестве б?.
Вр(п, Ь,Є) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна в Нр для оператора Ь на множестве многочленов Тп (б?)
Тр(п, L, б?) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Турана в Нр для оператора Ь на множестве многочленов Тп{С)
Врд(п, Ь,Є) - точная (наименьшая) константа в неравенстве Бернштейна на паре пространств Нд и Нр для оператора Ь на множестве многочленов 'Рп(бг)
Мп,Ь,С) = ы{Щ^: РєП.-і(С)} а%0(^і,С)=м{Р б 121 = і}

Доказательство теорем 1.6 и 1.7. Используя теорему 1.3, можно показать, что каждая из теорем 1.6, 1.7 является следствием второй. Однако нам удобно доказать обе теоремы одновременно. Обозначим через 6^ величину, равную | в случае, если к = ^ и равную 1 в остальных случаях. Введем функцию V вещественных переменных Ж], ... , х„
ч Т,1=оШ,^п2к + Ы2в:2{п-к))хк
'Xv)~ и=оШ2к + ^п~к)Н ’
где Xq — 1. Положим
m(R) = inf{Н(хь ... , Ху) : 0 ^ хк < (С*)2, к = 1,... , v} (1.4.9)
M(R) = ШЩ,{H(xi,... , x„) : 0 SS хк < (Г*)2, к v} (1.4.10)
Многочлен P принадлежит множеству Pn(S(R)) в том и только в том случае, если он допускает представление P(z) = Rnrr{ (,). где а есть многочлен из множества ^(5(1)); ПРИ этом, как нетрудно убедиться, отношение jjif’IH/ll-f’lli через коэффициенты многочлена a(z) = И*=oskz записывается в виде II Г PII
И? = я(|в1 |2,...,Ы2). (1.4.11)
В силу леммы 1.2 из соотношений (1.4.9), (1.4.10) и (1.4.11) следуют неравенства
ТЦп: Г.. II) >. т{]{). (1.4.12)
(n, L, 5(Ä)) < M(R). (1.4.13)
Если нижняя грань в (1.4.9) или верхняя грань в (1.4.10) достигаются в точке Хо £ R" с координатами хк = 0, к = 1,.... ц, или в точке Xj, с координатами хк = (С%)2, й = 1,... , у, то неравенство (1.4.12) или неравенство (1.4.13) обратится в равенство и соответствующими экстремальными будут многочлены z" — eRn или (z - eR)" |е] = 1.
Пусть А = (яд, есть точка (пространства R") с неотрицательными координатами: ак ^ 0, i Sj к ^ и. Исследуем поведение функции