Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами

• Автор: Антонов, Алексей Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

1. Введение
1.1. История вопроса
1.2. Постановка задачи
2. Вспомогательные результаты. Нормы некоторых тригонометрических полиномов в пространствах Ьр(Тм),
£п<р<°°
3. Обобщение теоремы Кошошкова в пространствах
ЦСП, 5т < Р < ОС
3.1. Случай смешанного модуля непрерывности
3.2. Случай полного модуля непрерывности
4. Многомерный аналог теоремы Лоренца
4.1. Случай смешанного модуля непрерывности
4.2. Случай полного модуля непрерывности

1. Введение
1.1. История вопроса
Работа посвящена изучению взаимосвязи поведения коэффициентов тригонометрических рядов многих переменных и гладкости сумм этих рядов в пространствах Ь?, и С.
Вначале введем некоторые обозначения.
Пусть т > 2 — размерность пространства, Т — [—7Г, я], и функция /(х) = /(.ть ..., хт) Є Ь(Тт) (всюду ниже функция предполагается 2тг -периодической по каждой переменной), через
£ "МУ"' = "£
пЄ2"‘ пє2"‘

будем обозначать кратный ряд Фурье функции /(х), где пх = ^ гвд,

ах, п есть — (тц ..., жт) и («і, пт) соответственно. Во многих случаях мы будем рассматривать функции /(х) такие, что коэффициенты «„(/) могут быть отличны от нуля только для п Є N"1 Это делается для упрощения формулировок и доказательств. Через с(П, ..., іі) ниже будут обозначаться положительные постоянные, зависящие лишь от П, • • •, Ь (не

обязательно равные между собой), а Пі (к) = ф[ /р.
і=і
Определение 1. Пусть функция и(6) — неубывающая, непрерывная па [0, 1] функция такая, что
1) ДО) = О,
2) ш(6 + и) < Д<5) + и (и), при 0<6<и<д + и<1.
Тогда ДФ) называется модулем непрерывности.
Определение 2. Пусть функция ДФ, ..., ф,(), (Ф, 5т) € [О, 1]ш
удовлетворяет следующим условиям :

1) и(5и ..., 6т) > 0, при (ф, 5т) Є [О, І]"1
2) ш{8, ôm) — непрерывна, на [О, I]"1,
3) u)(ôh Sj-i, 0, ôj+u Sm) = 0, при j = l, ..., rn,
4) и>(51, ф-_1, ôj+6j, 5j+1, 5m) <
S • • - і iïj—li '! 3j+li • - • і ^m) +
~h lo(5i, ..., Sj—i, 8j+1) • • •, <5jn)-
Тогда будем называть ее смешанным модулем непрерывности.
Пусть Гот — множество всех т - мерных векторов из 0 п 1. Если у Є

г 7 = (71, ..., 7„г), то положим І7І = £ 7*- Обозначим
і=і
А,(/, X, h)= ^(-l)W/(x + 7h),
7ЄГт
ГДС7І1 = (7і/іь 7„,/гг„).
Определение 3. Пусть функция /(х) Є Lp(Tm), 1 < р < со, где Loo = С. Смешанным модулем непрерывности функции назовем
Lüp(f, Su 5,„) = sup ||Аі(/, X, h)||p.
|/«i|<<5i,
Определение 4. Пусть a = (ai, ..., a„(). Будем говорить, что /(x) Є Lip(a:i, ..., am, p), 1 < p < oo, 0 < a,- < 1, j = 1, ..., m, если
m
ПrÇ' ) , ô — 0+1 І = 1. rn.
3=1
При p = oo соответствующий класс будем обозначать Lip(ai, ..., am).
В тех случаях, когда вид вектора a ясен из контекста, будем обозначать их Lip(a, р) и Lip(a) соответственно.
Кроме того, можно ввести понятие полного модуля непрерывности.
Ц.(/> Ф,

Имеем
Ai( 7i=±l,

= 5Z ■ • • Л A,aiП(■ei¥i
Ijii где А/ = J] _ коэффициенты Чезаро.

Т.к. ip 6 HWl'"u,m, имеем
5Z ••• H iaiY[(ea* - е~йЬ)

= 2”‘ IZ 5Z a!qinsinZi^
Й<»1 lm
<с(/, т)Дщфф).

Возьмем tj = ф при j — 1, ..., т. С другой стороны, т. к. все Ацц > О,
и sin Ijt j > 0 при 0 < lj < Hj
I7!= 5Z ••• 5Z Vipsin/jfj >
Й<'И 7
f2ni

- 5Z ••• S AlHl Дзшфф >
riLLl / — [Anil
L з J [ 3 J
[Да 1)1 L з
МИ) E - E
4¥] К,=[Т]
ГДм1 Г2an
>c(m) ^ ... JZ 01
й=И /»=[T]

> c(m)a|2n] Д>7