Скорости сходимости в эргодических теоремах

• Автор: Качуровский, Александр Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 153 с.

§0.1. Эргодические теоремы
§0.2. Скорости сходимости
§0.3. Колебательные характеристики сходимости
§0.4. Теория внутренних множеств
§0.5. Обзор предлагаемых результатов
ГЛАВА 1. Скорости сходимости в классической индивидуальной эргодической теореме
§1.1. Рост дисперсий 05п
§1.2. Убывание вероятностей ^-уклонений
§1.3. О равномерной сходимости и ее скорости
ГЛАВА 2. Скорости сходимости и колебания в других эргодических теоремах
§2.1. Скорости сходимости и колебания в других эргодических
теоремах для действия группы %
§2.2. Скорости сходимости в эргодических теоремах для действий групп Я6,
§2.3. Скорости сходимости и колебания в эргодических теоремах для действий локально конечных групп
ГЛАВА 3. Унификация эргодических теорем и мартингалов
§3.1. Мартингально-эргодические теоремы
Глава 4. Моделирование на языке нестандартного анализа
§4.1. Необходимые сведения из теории внутренних множеств и
формулировки элементарных эргодических теорем
§4.2. Доказательство ослабленной элементарной эргодической
теоремы
§4.3. О переработке доказательств
Список ЛИТЕРАТУРЫ

§0.1. Эргодические теоремы
0.1.1. Эргодические теоремы и эргодическая проблема.
Эргодическими теоремами называют утверждения о существовании предела временных средних вдоль траектории, а также о возможности замены этого предела на пространственное среднее.
Первые попытки обоснования такой замены для реальных физических систем, т.е. решения так называемой ’’эргодической проблемы” (на уровне строгости статистической физики своего времени) были предприняты Л.Больцманом и Дж.Максвеллом во второй половине прошлого века. Эти попытки опирались на ”эрго-дическую гипотезу” [69] о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Очевидная (теперь) математическая некорректность такого предположения долго была неочевидна даже для самых выдающихся современников — например, для А.Эйнштейна [39, с.62, 72]. Первым на эту некорректность обратил внимание, по-видимому, А.Пуанкаре; строгое доказательство принципиальной невыполнимости эргодической гипотезы было дано в 1913 году А.Розенталем [129] и М.Планшерелем [123].
П. и Т. Эренфесты выдвинули более слабую ”квазиэргодиче-скую гипотезу” о плотности траекторий на рассматриваемой поверхности. Позднее они заметили, что этого условия, конечно же, не достаточно для возможности замены пределов временных средних (если таковые и существуют) на пространственное (см. также работу Э.Ферми [78]).
Основы современной математической модели эргодической проблемы были заложены А.Пуанкаре, предвосхитившим многие важнейшие понятия появившейся позднее теории меры. Его классическую ”теорему о возвращении” можно рассматривать как предтечу последовавших позднее эргодических теорем.
Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть (П, Л) — пространство с вероятностной мерой. Т — его автоморфизм. Тогда для любого измеримого множества А С П, А(А) > 0, почти все по мере А точки со Е А бесконечное число раз возвращаются в А, т.е. для каждого члена некоторой бесконечной возрастающей по-

следователъности {п*(а?)}^1 будет ТПкш € А.
Двадцатые годы — период медленного становления понятийного аппарата эргодической теории, вбиравшего в себя современные ему достижения теории меры и формирующейся тогда же теории операторов.
В 1931 году произошел прорыв в построении содержательной математической модели эргодической проблемы. Сначала Дж. фон Нейман, а затем Г.Биркгоф доказали ставшие классическими эрго-дические теоремы, носящие имена их авторов: ”статистическу ю” эргодическую теорему Дж. фон Неймана [114] и "индивидуальную” теорему Дж. Биркгофа [64]. Сам термин ’’эргодическая теорема” впервые появился, по-видимому, в [64] (и взят там в кавычки); в [114] он еще не употреблялся.
Если (П, Л) — пространство с вероятностной мерой, Т — его автоморфизм, то для характеристической функции ха измеримого множества Л С П теорема Биркгофа утверждает существование предела п1пп £ хл(Ткш) для п.в. точек шЕП. В так называемом случае эргодичности рассматриваемой динамической системы (для чего достаточно ее транзитивности, т.е. невозможности разбиения П на два измеримых инвариантных относительно Т подмножества положительной меры) этот предел равен А(А). Последнее и означает равенство временных средних среднему по пространству.
Физики до сих пор спорят о содержательности такой математической модели; см., например, обзор Р.Балеску состояния эргодической проблемы в [3, с.354-390]. Мнение Дж. фон Неймана по этому вопросу (1932 г.) приведено в [115]; там же впервые затрагивался вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа.
Почти сразу было замечено [65], что даже в рамках рассматриваемой модели эти теоремы не решают эргодическую проблему, а лишь сводят ее к вопросу о существовании хорошей (несингулярной и эргодической) инвариантной меры у изучаемой динамической системы. Для гладких динамических систем абсолютно непрерывные относительно меры Лебега инвариантные меры можно указать применением теоремы Лиувилля [1], как это обычно и делается в учебниках по статистической физике; для других динамических систем работают теоремы Хаджана-Какутани [80] и
что для каждого борелевского подмножества В окружности будет Стохастические меры стационарных в широком смысле процессов с середины 70-х годов привлекает для изучения сходимости в усиленном законе больших чисел В.Ф.Гапошкин; см., кроме уже цитированных его работ, работу [9]. Для изучения динамических систем эти меры активно использует G.Peskir [121]. Ниже в параграфе §1.3 стохастические меры будут использоваться для исследования равномерной сходимости в индивидуальной эргоди-ческой теореме. Как и для задачи настоящего параграфа, знания только спектральной меры сг/ там оказывается недостаточно (и, более того, по спектральной мере совсем нельзя делать никаких заключений даже о наличии равномерной сходимости).
1.2.0.В. Случай независимости {/ о Tfc}£L0. Рассматриваемая характеристика скорости сходимости хорошо изучена в случае независимости случайных величин {/о jTfc}£i0 — для степенного и экспоненциального убывания Р* при п —> оо. В этом случае все определяется видом функции / и не зависит ни от каких параметров автоморфизма Т. Тем не менее, эти результаты служат естественным отправным пунктом для общего случая, и обнаруживают интересные аналогии.