Исследование разрешимости многопараметрических обратных краевых задач

• Автор: Абубакаров, Наиль Ренатович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 104 с.

Глава 1. Обратные краевые задачи в односвязных областях
§1. Решение задачи с тремя участками по параметрам (х,у, в) и (у,х,в)
§2. Случай 3п участков
§3. Решение задачи по параметрам (ж,у,%) и СУ->Х->Х) с тремя участками
§4. Симметричные решения обратных краевых задач и условия их однолистности
Глава 2. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта в многосвязной области и ее приложения
§5. Случаи двусвязных и трехсвязных областей
§6. Обратные краевые задачи в двусвязных областях
§7. Краевая задача Гильберта с разрывными коэффициентами
§8. Обратная краевая задача по параметрам
(х,у,9) в многосвязной области
Литература

В диссертации изучаются многопараметрические обратные краевые задачи (ОКЗ) для аналитических функций в конечносвязных областях.
Толчком к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [38], [39], [54]. В настоящее время ОКЗ в результате более чем полувекового развития образуют интересный и обширный раздел теории аналитических функций, который был создан преимущественно трудами казанских математиков и механиков (обзор [15]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились Г.Г. Тумашевым и его учеником М.Т. Нужиным по дуговому параметру в [54]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Д на сфере Римана С и аналитической в Д функции ги (г) по ее граничным значениям
гу(й) = и(в) + гг?(в), 0 < в < /, (0.1)
где в - дуговая абсцисса неизвестного спрямляемого граничного контура Ьг области Д и I - его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Д или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось то, задано или нет положение точки и>о, являющейся образом в плоскости ги бесконечно удаленной точки. ОКЗ с заданной величиной го0 впервые рассмотрел М.Т.Нужин [39], и с тех пор они называются задачами в постановке М.Т.Нужина. Внешняя ОКЗ в случае, когда ги0 заранее не задается, рассмотрена Ф.Д.Гаховым [23]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется и>0 и которое впоследствии стали называть уравнением Гахова.
В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое количество результатов, которые отражены в обзорах [10], [11].

С последующим развитием теории и появлением новых прикладных задач возникла необходимость в рассмотрении ОКЗ по параметрам, отличным от s. Из таких задач можно выделить задачу об определении крылового профиля по заданной хордовой диаграмме [25, гл. 8], [55, §17]. При этом распределение скорости выражается функциями от абсцисс х точек на профиле. ОКЗ по параметру х возникает и при построении плотины по заданной эпюре напора на ее контуре [29]. В качестве другого примера, когда граничные условия задаются как функции от г = |z|, можно привести задачу об определении формы поперечного сечения стержня по заданным на контуре продольным смещениям [39]. Все это породило интерес к изучению ОКЗ по различным параметрам из набора
х = Rez, у = Imz, г = |z|, 0 = arg z, х = arg dz, (0.2)
что отмечено в работах [36], [55]. В этом направлении имеется большое число работ [7]-[9], [43], [44]. Следующим шагом стало изучение многопараметрических ОКЗ в многосвязных областях, когда на некоторых контурах граничные условия (0.1) заданы от одного параметра, а на оставшихся - от другого параметра из набора (0.2). Более общим случаем является постановка ОКЗ, когда значения аналитической функции на различных участках границы искомой области заданы как функции различных параметров. При этом были выявлены ”родственные” пары таких параметров: (х,у), (г, в), (s,%), решение ОКЗ по которым сводится к известной в теории краевых задач смешанной задаче о нахождении аналитической в известной области D функции F(z) по краевым условиям
ReF(t) = /i(£), teLu
ImF(t) = f2(t), teb2,
где Li U L2 = dD. Подобные задачи исследованы в работах [48, §9], [31], [32], где указаны условия их разрешимости. При этом плодотворным оказалось введение произвольных постоянных в постановку ОКЗ, впервые предложенное Р.Б.Салимовым [48, §9]. Для внешней ОКЗ по параметру s в многосвязной области этот способ был применен JI.H. Журбенко [26], а по параметрам (s,0) - М.И. Киндером [31] и A.B. Киселевым [32].
Более сложной проблемой оказалось дальнейшее увеличение числа параметров. Исследование таких ОКЗ приводило к нелинейным краевым задачам, метода точного решения которых не существовало. В данной диссертации удалось выделить наборы трех параметров, например, (х, у, 0), ОКЗ по которым сводились к краевой задаче Гильберта в извест-

Доказательство. Необходимость. Если ги{г) = т(г), то переход от точки г € 4 к симметричной точке г означает переход от одной ветви /(ж) к другой, что влечет (4.2).
Достаточность. Выполнение условия (4.2) означает, что область является зеркально симметричной областью. С помощью функции С = Ф(гс) отобразим верхнюю половину Д<, на верхнюю половину круга Д^ = {С : |С| < 1} так, чтобы концевые точки и некоторая промежуточная точка вещественного отрезка, вложенного в Дш, перешли в точки 1, —1 и
0. Тогда функция Ф(д;) обладает свойством Ф(?г) = Ф(гс). В силу этого гельдерова функция ж = х(7), определяемая из соответствия егу — Ф [/(ж)], является четной, т.е. х(-у) = 2(7), если считать —7Г < 7 < п. Функция отображающая Д^ на искомую область Дг, определяется с помощью оператора Шварца
Докажем, что г(С) удовлетворяет условию зеркальной симметрии. Для этого в формуле (4.3) положим Д) = 0 и разложим г(() в ряд Тейлора по степеням £. Так как