Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации

• Автор: Редкозубова, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

1 Сопряженный ряд Фурье и функции ограниченной Л-вариации одной переменной
1.1 Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации
1.2 Случай функций ограниченной Л-вариации
2 Двойные сопряженные ряды и функции ограниченной гармонической вариации двух переменных
2.1 Вспомогательные результаты
2.2 Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье
Список литературы
Структура работы
Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 36 наименований.
В данной работе формулы, леммы и теоремы будут иметь номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.
Основные определения
Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости тригонометрических рядов, сопряженных к рядам Фурье функций одного и двух переменных классов ограниченной Л-вариации.
В первой главе рассматриваются 27г-периодические функции одного действительного переменного, а во второй 27г-периодические по каждому аргументу функции двух переменных, определенные соответственно либо на Т — [—7Г, 7г], либо на Т2 - [—7Г, я]2.
Через Пп(х■■) будем обозначать одномерное ядро Дирихле:
зт(п + Щ ' 2зт§ '
А через Вп(х) — сопряженное ядро Дирихле:
сое | — со э(п + |)ж 2Бт:
Вп{х)= г • (2)

Далее везде:
9&) = 777ГТ ~ 7 > (3)
Gn.it) = д{1) собп^ — ^ Бтгг^ , (4)

Hn(t) — g(t) sin nt + — cos nt , (5)
Отметим, что g(t) непрерывна на T = [—-тг, 7г].
Элементы К2 иногда будут обозначаться как векторы, например, х = {хъх2).
Через С и С(-) обозначаются, соответственно, положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, разные, вообще говоря, в различных случаях.
При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Jk, Jk,i и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.
Определение 1. Сопряженным рядом к тригонометрическому ряду

S = — + У ап cos пх + Ъп sin пх

называется ряд

S = —bn cos пх + ап sin пх.

Ряды S и S являются, соответственно, действительной и мнимой частью

степенного ряда ^2 CnZn, со — 9^, Сп = ап — ibn, п — 1,2,3 z = ге1Х при

Г = 1.
Пусть f(x) —2тг периодическая интегрируемая по Лебегу функция. Ряд Фурье функции f(x) будем обозначать S[f], а сопряженный к нему ряд
51/1Исследования сходимости и суммируемости ряда 5[/] привели к понятию сопряженной функции.
Определение 2. Сопряженной функцией к функции /(ж) называется
ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

= ~І2,1 — І2,2 — І2,г,
гдерїіУ(М) = /1(®+в,у+0+/1(®-в,у+і)-/1(*+в,У-*)-/1(яг-в»У-0і
а Нт(в) тоже определено формулой (5).
Очевидно,что интегралы 1$ и /2,2 стремятся к нулю при т, п —> оо, так

К интегралам /ід, /2,і применим лемму 2.1. Интегралы /ід,/2,3 стремятся к нулю по лемме 2.3, в качестве и (в, £) надо рассмотреть /2(ж ± й, у ± і) — /2(ж, у) для /ід и /!(ж ± в, у ± і) - р{х, у) для /2,3.
Осталось рассмотреть интеграл /3, учитывая формулу (4) для перепишем его в виде :
І/ідКтг2 вир |^(5, і) |,
и аналогично
|/2,2Ктг2 вир |у£>у(з,4)|.
п т
Ж. Ж. п т
7Г 7Г
7Г _7Г_
п т
п т
— /I л. (ж, у) + /31 + /3,2 + /з,3п' т