Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств Кальдерона

• Автор: Жамсранжав Даваадулам
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

0.1 Описание обозначений
Глава 1. Пространства Кальдерона-Орлича
1.1 Перестановочно-инвариантное пространство
1.1.1 Банахово функциональное пространство
1.1.2 Перестановочно-инвариантное пространство
1.1.3 Пространство Орлича
1.2 Общие свойства пространств Кальдерона-Орлича
1.2.1 Основные определения и обозначения
1.2.2 Дискретизация нормы .Г на конусе убывающих функций
1.3 Критерий ограниченности оператора типа Харди
в пространстве Г = п £ф
Глава 2. Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в Ьа
2.1 Критерий вложения пространства Кальдерона-Орлича в £„ и перестановочно-инвариантная оболочка в этом случае
2.1.1 Формулировка основных результатов
2.1.2 Доказательства утверждений
2.1.3 Примеры
2.2 Описание оболочки локального роста пространства
Кальдерона-Орлича
Глава 3. Анизотропное пространство Кальдерона-Орлича
Литература

Интегральные неравенства на конусах монотонных функций играют важную роль в математическом анализе, теории вложения и их приложениях. Многие объекты современного математического анализа (убывающие перестановки функций, наилучщие приближения, модули непрерывности, функционалы теории интерполяции операторов) обладают свойствами монотонности. Многие вопросы теории приближений, теории интерполяции и в том числе, теории вложения сводятся к исследованию интегральных неравенств на конусе монотонных функций.
Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближений. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства.
Теоремы вложения возникли в связи с задачами теории уравнений в частных производных, в которых для изучения гладкости решений вводятся одни серии пространств, для изучения > поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых
точек - другие типы пространств; изучение значений решений на многообразиях меньшей размерности проводится в новых
пространствах и т.д. Возникновение теории вложения связано с работами С.Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Им были введены и изучены пространства Wp, получена для них система теорем вложения и даны приложения в уравнениях математической физики.
Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах J1.H. Слободецкого, И. Стейна, П.И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибсля и его учеников, М. Тейблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева - Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина - Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием С.М. Никольским теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О-В. Бесов ввел и изучил более общие пространства Brp0{Rn), совпадающие при в — оо с пространством Никольского Hp(Rn). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, С.В. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.
1.3. Критерий ограниченности оператора типа Харди в пространстве F = Ьфг1/ П Ь00.
В этом разделе мы приведем эквивалентное условие ограниченности оператора типа Харди G введенного в иредыдующем разделе (см (1.2.17) и (1.2.18)), в случае пространства F = Ьф}1/ П L^. Отметим, что основные результаты работы получены при условии ограниченности оператора G : Sip —» F[T, оо).
При этом существенно используются результаты об оценках норм операторов и функционалов на конусах монотонных функций, развитые в работах [6]-[9].
Предложение 1.3.1 .Пусть F — П L^ - идеальное
пространство (квази) норма в котором задается соотношением
(1.2.5). Пусть Ф € Д2. Введем положительную функцию
9(t) = yE{w~l{t)), t е [1, оо), (1.3.1)
где уЕ-функция (1.1.2); w~l € [1,со) непрерывная справа
обратная функция к возрастающей непрерывной функции w
(1.2.6). Тогда условие ограниченности оператора

= J 5('r)1MrMT~l)dr : Qf->F[T,oо)

эквивалентно требованию 0 G Д> +оо), т.е.
sup[0(2£)/0(^ : t € [2, оо)] < оо. (1.3.2)