Треугольные преобразования мер

• Автор: Медведев, Кирилл Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 60 с.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. Свойства канонических треугольных преобразований мер
1.1. Обозначения и терминология
1.2. Единственность треугольных преобразований мер
1.3. Формулы замены переменных
1.4. Применение треугольных отображений
ГЛАВА 2. Сходимость выпуклых мер
2.1. Слабая сходимость выпуклых мер
2.2. Сходимость треугольных отображений
для слабо сходящихся выпуклых мер
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомическоп вероятностной меры) при некотором борелевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, восходящая к опубликованным еще в 30-50-х годах прошлого столетия классическим трудам А.Д. Александрова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Л.В. Канторовича, Дж. фон Неймана, Ю.В. Прохорова (см.1,2,3’4,5), связана с целым рядом классических проблем из теории меры, теории экстремальных задач, нелинейного анализа, геометрии многообразий и теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям. Например, были получены новые нелинейные функциональные неравенства, обобщающие изопериметрические неравенства и неравенства Соболева. В основе неравенств такого рода часто лежат формулы замены переменных для отображений, переводящих одну меру в другую и удовлетворяющих каким-либо ограничениям типа вариационных неравенств или условий монотонности.
Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), п. 1, е. 167-174.
“Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La théorie générale de la mesure dans son application à l’étude de systèmes dynamiques de la mécanique non-linéaire. Aim. Math., 1937, v. 38, p. 65-113.
Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7-8, с. 227-229.
Neumann Л. von. Einige Sätze über messbare Abbildungen. Ann. Math., 1932, v. 33, p. 574-5SG.
Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоре.мы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примет, 1956, т. 1, в. 2, с. 177-23S.

В последние два десятилетия здесь появились новые плодотворные идеи, в том числе в работах М. Талаграна0, Я. Бренье7, Р. Маккэна8. В частности, Бренье и Маккэн установили, что всякую абсолютно непрерывную вероятностную меру на конечномерном пространстве можно перевести в любую другую вероятностную меру на этом пространстве посредством градиента выпуклой функции, причем преобразование такого типа единственно.
Обсуждаемые вопросы отражены также в монографической литературе, например, в книгах9,10’11’12,13,14’15, полностью или частично посвященных этим вопросам и их связям с другими направлениями.
Среди разнообразных классов отображений, рассматривавшихся многими авторами, следует особо выделить отображения монотонного типа, представляющие собой различные обобщения возрастающих функций на прямой (к А.Н. Колмогорову восходит важное наблюдение, что всякое вероятностное распределение на прямой можно получить монотонной функцией из всякого безатомического вероятностного распределения на прямой; это делается с помощью функций распределения и обратных к ним). Имеются два почти не пересекающихся класса таких многомерных и бесконечномерных обобщений: градиенты выпуклых функций и рассматриваемые в диссертации треугольные возрастающие отображения.
®Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1096, v. 6, p. 587-600.
‘ Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comin. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375-417.
McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309-323.
9Судаков B.H. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.
Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.
Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.
-Lcduux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.
Viliam C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.
Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижсвск, 2006.
Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.

1.3. Формулы замены переменных
Для возрастающих треугольных отображений справедлива следующая формула замены переменных.
ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть Т — (Тп
х1 ь-» ТДхь ... ,.гД
абсолютно непрерывны на отрезках для п.в. (х
емой па мноэ1сествеТ(Лп) борелевской функции у? функция уроТ бе! ОТ интегрируема по П." и справедливо равенство
[ ц?(у) ду = I ц?(Т(х)) ОТ(х) дх. (1.3.1)
./т(К") б IV'
Если отображение Т определено лишь на некотором борелевском множестве П С К", причем каждая функция Т задана на борелевском мпооюест.ве еИ', сечения которого прямыми, параллельными Ной координатной прямой, являются промежутками, а указанное условие выполнено для отрезков этих сечений, то это оюе утверждение верно с заменой ГГ1 на Г2.
Доказательство. При п = 1 наше утверждение совпадает с классической формулой замены переменных для абсолютно непрерывных функций. Далее применим индукцию по гг и будем считать утверждение верным в случае размерности те — 1. Вне суслииского множества Т(Лп) функцию <р сделаем нулем. Положим 5 — (7,
[ т{у) с1У = [ т{у)йу= [ [ (р(п{г),уп) д.еЮЗ{г)дгдуп,
ЭТ(И") ОИп д—оо
что после перестановки пределов интегрирования и замены переменной Уп = Тп(г, хп) при фиксированном .г £ К"-1 приводит к (1.3.1) ввиду