О голоморфном продолжении через острие клина необщего положения

• Автор: Юрьева, Евгения Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 61 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Интегральное представление Вейля в аналитических полиэдрах
1.2 Аналитические множества
1.3 Потоки и 0-задача
1.4 Меры Хаусдорфа
2 Теорема об острие клина для непрерывных граничных значений
2.1 Первая теорема о голоморфном продолжении функций в окрестность острия га-кругового клина необщего положения
2.2 Поликруговой клин, логарифмический образ которого содержит прямую
2.3 О клиньях, образуемых алгебраическими гиперповерхностями
2.4 Еще одна версия теоремы о продолжении через тор Тп
2.5 Трасформация задачи о продолжении функций в клине в задачу о продолжении пучков
3 Теорема об острие клина для аналитических множеств
3.1 Формулировка теоремы
3.2 Доказательство теоремы в двумерном случае
3.3 Общий случай
Заключение
Литература

Введение
Богатство проблематики голоморфного продолжения в многомерном комплексном анализе обнаружилось в 1906 году благодаря феномену Ф. Гартогса [19] «принудительного» голоморфного продолжения: оказывается, функция голоморфная в окрестности границы компакта автоматически продолжается на сам компакт как голоморфная функция [43], [8]; в частности, голоморфная функция п ^ 2 переменных не может иметь изолированных особых точек, — особенности таких функций обязаны выходить на границу области или простираться в бесконечность. Позднее обнаружилось, что стирание компактных особенностей для голоморфных функций трактуется свойством подходящей выпуклости областей голоморфности. Комплексный анализ породил наиболее абстрактные обобщения понятия выпуклости, такие, как голоморфная выпуклость, псевдовыпуклость, логарифмическая выпуклость. Понятие устранения особенностей стали рассматривать для пучков [18] и комплексных структур [40].
Наряду с теоремой Ф. Гартогса, одним из важных примеров «принудительного» продолжения для голоморфных функций многих переменных является теорема, которая была получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 го-ду [3], [8], в связи с обоснованием дисперсионных соотношений в квантовой теории поля. Она утверждает следующее:
Если функция ф(г), голоморфна в трубчатой области Т = Мп + гГ, основанием которой служит двусторонний световой конус
Г ■у>у1 + --- + у1, и непрерывна в ее замыкании Т, то она голоморфно продолжается в С71.
Острие конуса Г (см. Рис. 1), лежащего в мнимом подпространстве про-

странства Сп — это точка у = О, соответственно, вещественное подпространство К” = Кп + гО выступает в качестве острия области (клина) Т■

H.H. Боголюбовым также была получена локальная версия этого утверждения, т. е. для ситуации, когда функция f(z) голоморфна лишь в некоторой ограниченной части трубчатой области Т (см. Рис. 2). Кроме того, им была приведена теорема в случае совпадения значений функции f(z) на острие в смысле обобщенных функций.
Теорема (H. Н. Боголюбов [8]). Пусть функция f (г) голоморфна в открытом множестве Tr = {z : |z| < R, у G Г}; где Г двусторонний световой конус у > у + • • • + у. Пусть, далее, открытое множество О С 1п содержится в шаре |х| < R. Предположим, что для любой основной функции ip из Т)(0) существует предел (определяя тем самым обобщенную функцию / £ Т>'{0))
не зависящий от последовательности у —ї 0, у € Г. Тогда функция /(z) допускает голоморфное продолжение в областъТкУдО, где О — комплексная окрестность открытого множества О.
В дальнейшем теорема Н. Н. Боголюбова была другими методами пе-редоказана в работе Г. Дж. Бремермана, Р. Оме и Дж. Г. Тейлора [6], где она была названа «edge of the wedge» теоремой, и с тех пор эта теорема и ее различные обобщения и модификации стали называться теоремами «об острие клина». К настоящему времени известно свыше десятка доказательств теоремы «об острие клина». Она приводится в работах Р. Йоста

D- = {z : z3 < 1, j = 1,... ,n} .
Доказательство. В силу симметричности матрицы ]|ха(з|| имеем Ра = PiW Поэтому
■р _]Л = Vn{zb ...,Zn)
nzi,'"’znJ Zi-..Zn
Таким образом, гиперповерхность V ведет себя симметричным образом относительно областей D- и D+, т.е. по Лемме Ли-Янга V может пересекать замыкания D_ и D+ лишь по остову Тп. □
Фактически утверждение Предложения 2.1 показывает, что дополнение к гиперповерхности V на схеме Рейнхарта определяет n-круговой клин. Этот клин удобнее рассматривать в логарифмической шкале.
Определение 2.1. [16] Амебой Лу алгебраической гиперповерхности V С (С 0)” называется ее образ в Rrt при отображении
Log : (zi,...,zn) -s> (In |zi|,..., In zn).
Амеба комплексной кривой V = Z2) = 0} при |xi2| < 1 изобра-
жена на Рис. 11.
Структуру амебы гиперповерхности V = {P(z) — 0} в некотором смысле отражает многогранник Ньютона М-р полинома V(z) (напомним, что
многогранником Ньютона полинома 'P(z) = ^2 caza называется вы-
aeAcZn
пуклая оболочка в Мп множества А). Известно (см. [16]), что дополнение Rn Ау к амебе Av состоит из конечного числа связных компонент EV) открытых и выпуклых. Каждая из компонент Е„ соответствует некоторой целочисленной точке v из многогранника Ньютона М-р. Более того, конус