Системы уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций

• Автор: Мерзляков, Сергей Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 96 c. : ил

ГЛАВА I. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ В КОМПЛЕКСНЫХ

ОБЛАСТЯХ

§ I.O. Обозначения, предварительные сведения и

результаты

§ I.I. Формулировка теорем

§ 1.2. Свойства функций 0J и Р

§ 1.3. Доказательство теоремы I. Примеры

§ 1.4. Доказательство теоремы

§ 1.5. Доказательство теоремы

§ 1.6. Доказательство теоремы

§ 1.7. Инвариантные подпространства оператора

кратного дифференцирования
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ
ОБЛАСТЯХ
§ 2.0. Обозначения и предварительные результаты
§ 2.1. Формулировка теорем
§ 2.2. Свойства функций СО и
§ 2.3. Доказательство теоремы
§ 2.4. Доказательство теоремы
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена изучению систем однородных уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций в комплексных и вещественных областях.
Пусть U,, ...} Ц - области в комплексной плоскости (интервалы вещественной оси), bL (Ні) (С (U;.))
пространство функций, голоморфных в области UL (непрерывных
на интервале И-ь ) с топологией равномерной сходимости на компактах, i- = 1 а , Sf - линейные непрерывные функционалы на пространстве Н, ( U-t) ( С ( Ui)) , і. = і ,
j е J , где J - некоторое множество индексов.
Основной вопрос, рассматриваемый в диссертации - задача аппроксимации произвольного решения системы
< si. j - j, м
Ь n’( a(Ui) in*, C(U;)),
линейными комбинациями элементарных решений, то есть функциями вида
ZleiszmC„, где с m е (С *
В случае CJ, = | J | = і эта задача для комплексных областей рассматривалась в статьях [Зб] , [35], [39], [I] , [17] , [34],
[19]. В этих работах предполагалось, что характеристическая функция соответствующего уравнения свертки, то есть < St , exp juz.> , удовлетворяет ограничениям типа оценок снизу.
Для = і наиболее полно эта задача изучалась в
работах [9І, [10], [її].

Было доказано, в частности, что если = | Л = ] ,
а область и, выпукла, то элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.
Для > 1 воцрос исследовался в статьях [12],
[13], [14]. Было доказано, в частности, следующее утверждение: если области выпуклые, а О. = 1 , то
элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.
Случай вещественных областей рассматривался при с^- =. I в работах [ЗЗ], [37], [38], [18]. Для Ы, = К в статье
[38] показано, что элементарные решения системы (х) полны в пространстве всех решений. Наиболее общий результат для ограниченного отрезка получен в статье [18]. Ниже мы приведем его обобщение на случай >• { (см. теорему б).
Для С|. — 2. , = Ыа. = 0^. в статье [32] показано,
что элементарные решения системы (х) полны в классе всех решений.
Произвольные системы уравнений свертки в комплексном и вещественном случае мало исследованы. К таким исследованиям можно отнести лишь [12], [13], Г14], [32]. Трудности, возникающие в изучении этих систем, связаны в основном с тем, что элементарные решения образуют несчетное множество. Эти трудности в некоторых важных случаях удалось в диссертации обойти.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Введем следующие обозначения: Ч ( Я-0 == Б (]и}
= С<5' , е"»* , ^ - сопряженные диаграммы
элементов матрицы с. = сопу (к[ , Где
сопи Е - выпуклая оболочка множества Е . Максимальное по
Я е с число п линейно-независимых строк матрицы (^ц)
назовем рангом системы С *) . Если £]• = 11 I =■ п , то
обозначим Ч* (_|ц) - присоединенная матрица к Ч (р ^ , то

Часть плоскости, ограниченную контуром Г , разобьем на
конечное число частей кривыми типа лучей, чтобы на каждой кривой
выполнялась оценка типа (1.4.2) и раствор угла между соседними кривыми был меньше ^ . Пусть Г - контур, составленный из
двух соседних кривых с направлениями
Из леммы 1.4.2 следует, что существуют целые функции экспоненциального типа и вполне регулярного роста С/л^) с индикатрисами роста /ь[~ @) }
что на контуре Г' и окружностях //<-/*• Ъ к. выполняются оценки
/ У£С/Л,)1> СС£)2^/о([ и- &$-£] 1/4-1}.
Обозначим диагональную матрицу /г -того порядка
с элементами У'сс • Применяя первую часть леммы к системам с характеристическими матрицами У^С/ч) У9С/О и свойство 4) функции 9 , заключаем, что последовательность И
^ ^ ) будет сходиться в топологии пространств НСС9У-
[в;,е;])) и нсъ1 . Так как имеет
место либо включение (1.4.3), либо (1.4.4), то последовательность 9^ (2, -Ру ^ Гк. ) будет сходиться равномерно на компактах
области С( 0Т'-*-//г/С£) ) 1У
6^. ] , и, поэтому, последовательность Гк. )
будет сходиться равномерно на компактах области С(&9~
-^-^(?[<£] СФг. ~~ } С 81, б*.] ) , и, следовательно, в силу произвольности С. > О , на компактах области
, которая совпадает с областью £ СОМг С ^ ^ ь. С ©1^ <9г.] } ибо с самого начала
ш могли взять £- - вздутия компактов /3^_ , для которых
продолжают выполняться включения (1.0.5). Лемма доказана.
Предельную функцию последовательности Г«_ )