Псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах ли

• Автор: Меладзе, Годердзи Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 121 c. : ил

ВВВДЕНИЕ ГЛАВА I.

Глава II.

СОБСТВЕННЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА

УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ ЛИ

§ I. Основные определения

§ 2. Алгебра псевдодифференциальных операторов

на О

§ 3. Ограниченность операторов в С^(Сг) и /_^((х)

§ 4. Равномерно эллиптические операторы. Параметрикс

§ 5. Пространства Соболева

§ 6. Существенная самосопряженность
§ 7. Левые и правые классы операторов и пространства Соболева
§ 8. Различные обобщения
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ НА УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУППАХ Ж
§ I. Определение класса ПА"1 (0, у) и некоторые его свойства
§ 2. Действие операторов из
пространствах СГ(61 Жу) - Ш
§ 3. Алгебра псевдодифференциальных операторов на
О и их действие в пространствах Соболева
§ 4. Убывание функции Грина
§ 5. Комплексные степени псевдодифференциальных
операторов на группах Ли
§ 6. Случай групп со степенным ростом функции
объема
Глава III. ФРЕДГОЛЬМОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОЮВ НА УНИМОДУЛЯРНЫХ ГРУШАХ ЛИ
§ I. Вспомогательные результаты
§ 2. Теоремы о фредгольмовости и обратимости то6
ЛИТЕРАТУРА

ВТЩКНШ!
Диссертация посвящена исследованию и применению псевдодиффе-ренциальных операторов на унимодулярных группах Ли.
Теория псевдодифференциальных операторов (п.д.о.) в ее современном виде была создана в 60-е годы в работах Кона и Ниренбер-га [зб}, Хермандера [1] и др. Сейчас эта одна из наиболее эффективных рабочих теорий математической физики и современного анализа.
Особенно важны п.д.о. для изучения эллиптических операторов. В частности, они делают возможным описание структуры различных функций от эллиптического оператора (например, обратного оператора, резольвенты, комплексных степеней), что имеет важные приложения в спектральной теории эллиптических операторов (см., например, [ю], [п], [те], [17], [зв]).
Велика роль п.д.о. в теории индекса операторов (см. [20],
[21]).
Естественным образом п.д.о. появляются при сведении на границу какой-либо граничной задачи для эллиптического уравнения [в].
Оператор с постоянными коэффициентами
р(эс„,
является
модельным для эллиптического оператора Р (Х; Ох) в окрестности точки У-о • Аналогично этому некоторые операторы могут быть изучены, если в качестве модели принять операторы (чаще всего лево- или правоинвариантные) на нильпотентных группах Ли.
Эту идею впервые применили Фоланд и Стейн для оператора с)^ на группе Гейзенберга (см. [40]).
В последнее время идея использования инвариантных операторов на нильпотентных группах Ли как модельных операторов некоторых локальных задач широко разрабатывалась (см., например, обзор Метивье [23], работы Мелина [24], [25], Ротшильд-Стейна N.

и '—> 1и.
проверяется очевидным образом, а биективность его вытекает из вышеизложенного
Отметим еще следующее простое описание топологии в Н (Сг) при целом § >/0.
Предложение 1.5.7. Пусть 5е 2- , . Тогда норма |( [($
эквивалентна норме Ц « Ц * , задаваемой формулой
1К*=Х \^4 (1-5лз)

Доказательство легко получается из теоремы об ограниченности
1.3.1 и леммы 1.5.2.
В этом параграфе мы будем обозначать через Д формально со-
§ 6. Существенная самосопряженность

пряженный оператор к оператору Д (в смысле § I, где он обозначался А ), резервируя обозначение А для оператора, сопряженного к А в гильбертовом смысле (в пространстве [А ((А) ). Все операторы ДеУ/_т(Йг) будем в этом параграфе считать определенными на слс) и через А будем обозначать замыкание оператора А в пространстве (оно определено ввиду того, что сопряженный оператор Д* , являющийся расширением оператора А имеет плотную область определения).
Напомним, что формально самосопряженный оператор А называется существенно самосопряженным, если А*-А . Мы будем использовать также следующий более общий термин: пара операторов А,А+ называется существенно сопряженной, если (Д4")*- А ш
А*