Теплиц-плюс-ганкелевы матрицы и равномерная сходимость аппроксимаций Паде - Чебышева

• Автор: Ибряева, Ольга Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 СТРУКТУРА ЯДРА И ОБРАЩЕНИЕ (Т + Я)-МАТРИЦ
1.1. Блочные (Т + Я)-матрицы и структура их ядра
1.2. Критерий существенности
1.3. Обращение (Т + Я)-матриц
1.4. Обобщенное обращение (Т 4- Я)-матриц
1.5. Устойчивость индексов скалярной (Т + Я)-последовательности
2 ПРИМЕНЕНИЕ (Т + Я)-МАТРИЦ К ФОРМАЛЬНОЙ ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА
2.1. Связь линейных аппроксимаций Паде - Чебышева с задачей нахождения ядра (Т + Л)-матрицы
2.2. Представление знаменателя и числителя линейной аппроксимации Паде - Чебышева
2.3. Достаточное условие единственности аппроксимации Паде -Чебышева и критерий единственности ее знаменателя
2.4. Единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева тина (п, Л — 1) для правильной рациональной дроби г(г)
2.5. Достаточное условие корректности задачи нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева
3 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ - ЧЕБЫШЕВА
3.1. Уравнения Безу и их минимальные решения
3.2. Явное представление знаменателей аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для г(г)

3.3. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Па-
де - Чебышева типа (та, Л — 1) для г (г)
3.4. Единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (та, Л — 1) для мероморфной функции а(г)
3.5. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Паде - Чебышева типа (та, Л — 1) для а(г)
3.6. Геометрия множества предельных точек
3.7. Области равномерной сходимости аппроксимаций Паде - Чебышева типа (та, Л — 1) для а(г) .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
Основной целью диссертационной работы является изучение равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева, являющихся одним из обобщений классических аппроксимаций Паде. Хорошо известно, что аппроксимации Паде — это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда

a(z) = anzn. Они легко находятся по коэффициентам ряда ап и дают воз-

можность эффективного аналитического продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости.
В последнее время появилось множество работ по обобщенным аппроксимациям Паде [18, 22, 23, 26, 31, 32, 33, 42, 44]. Речь идет о так называемых аппроксимациях Паде ортогональных разложений, которые строятся для функций, заданных разложением в ряд по ортогональным многочленам

a(z) = Y2 aiiM°n{z) и позволяют, в частности, приближенно представить a(z)

за пределами канонической области сходимости ее ряда.
Исследователи отмечают улучшение сходимости [32] и аппроксимацион-ных свойств [33] при использовании такого вида аппроксимаций. В зависимости от конкретного вида многочленов Сразу отметим, что всюду в этой работе мы используем многочлены Чебышева первого рода. Эти многочлены на отрезке [—1,1] определяются формулой Тп(х) = cos (гг arccos ж) и старший коэффициент Тп(х) равен 2п~~1. Среди всех многочленов степени п с единичным старшим коэффициентом многочлены w=Tn{x) наименее уклоняются от нуля на [—1,1]. Как отмечает К.О. Геддес [33], ввиду важных экстремальных свойств многочленов Чебышева, можно ожидать лучших результатов именно от аппроксимаций Паде - Чебышева.
Поскольку далее в диссертации нам постоянно придется иметь дело с разложениями функций в ряд по многочленам Чебышева, укажем условия такой разложимости. Любая функция a(z), аналитическая внутри некоторо-

Дополним это семейство любыми многочленами Др+5+1(£),
бшш линейно независимыми. Это можно сделать, т.к. размерность всегда не меньше, чем 2 (р + д).
Аналогично пусть Ар+д(й)
Пусть ЬДв)
нейно независимыми.
Составим следующие матрицы:
( <{4-41(4)} +а; {4-чг(«)}
д 7,1еа(1
V к« у
и матрицу Аь
(/Со сгГ{5т+1£(5-1)}+а«{1£(5)} £/еаЙ {5£(5-1)}+{5-1ед}). Здесь тг.(*) = ((£ + 1)Л1(£) ...(£ + 1)Лр+в(£) Др+9+1(г) ... Д2(р+г)(£)) ,
1 £1(3)
(в + 1)£р+«+1 (в)
У (в + 1)£2(р+д)(«)
7?.;еа£г гг £/еа<г - матрицы, составленные из формальных старших коэффициентов правых и левых существенных многочленов, Но, Со - из свободных членов. Неявно присутствующие в аТД[ матрицы а_т_ 1, ап+1, Ь-1, Ъп+т+ - это любые матрицы размеров р х д.
Тогда матрица 5о обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица Ля (или ЛЬу). £слгг обратима матрица Аи, то Аь также обратима и наоборот.