Локально равномерно выпуклые нормы на пространствах непрерывных функций

• Автор: Кобылина, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 61 с.

Глава 1. Теорема Зизлера и ее приложения
Глава 2. Нелинейная техника перенормировки пространств непрерывных функций на компактах
Библиография

Теория перенормировок является ветвью функционального анализа, которая исследует проблемы существования эквивалентных норм на банаховых пространствах с более хорошими геометрическими свойствами выпуклости и гладкости. Данная диссертация посвящена исследованию некоторых свойств первого типа, т.е. свойств выпуклости.
Нормы, обладающие достаточно хорошими свойствами выпуклости, были впервые описаны Кларксоном [14] в 1936 году. В частности, им было введено следующее понятие равномерно выпуклой нормы на банаховом пространстве: последовательности длин различных хорд единичной сферы стремятся к нулю при условии, что их средние точки приближаются к границе этой сферы. В качестве классических примеров равномерно выпуклых пространств могут быть рассмотрены пространства Ьр и 1р, при р > 1 [14].
Более слабый тип выпуклости, называемый локальной равномерной выпуклостью, был рассмотрен Ловаглиа [25]. Данный тип выпуклости геометрически отличается от равномерной выпуклости тем, что одна из концевых точек рассматриваемых выше хорд единичной сферы фиксирована [25]. Приведем более строгие определения различных типов выпуклости норм, исследованию которых посвящена данная работа.
Определение 0.1. [25] Нормированное линейное пространство X называется равномерно выпуклым, если для любого е > 0 существует д(е) > 0, для которого из условий |х-у\>£ и |*|| = И = 1, х,уеХ, следует, что
Определение 0.2. [25]. Нормированное линейное пространство X называется локально равномерно выпуклым (или кратко ШЯ), если для любого £->0 и фиксированного элемента хеХ, |[х|| = 1, существует <5(£,л;)>0
такое, что условия \х-у\>е и ||у|| = 1, уеХ влекут 1^121 <-д(е,х).

Определение 0.3. [25]. Нормированное линейное пространство X называется строго выпуклым, если условие |*+з| = ||х||+|М1 влечет линейную зависимость ненулевых элементов X И у из X.
Геометрически последнее свойство означает, что соответствующая единичная сфера нормированного пространства не содержит никаких нетривиальных отрезков.
Определение 0.4. [21]. Норма на банаховом пространстве X называется слабо локально равномерно выпуклой (или кратко VLUR), если любая последовательность {х„ }"=0 с X слабо сходится к х0 при условии
Иш||х„ Il = lim
•" и-im I

Определение 0.5. [11] Норма ||-|| банахова пространства X называется нормой Кадеца по отношению к тотальному1 множеству А из сопряженного пространства X’, если для любой последовательности {хп}J=0 сХ следующие условия эквивалентны:
(К1) если limx*(x„)=x’(x0) для любого функционала х' е А, то
Л—>00
limmf|*j2t|x0|.
л—>оо к>п "
(К2) если Ншх'(х„)=х‘(х0) для любого функционала х’ е А и Ит||х„|| = ||х0|,
Л—>оо ц->со' " Ч
то limlx - х0 ! = 0.
Л->оо'‘ "
Из приведенных определений следует, что равномерная выпуклость влечет локальную равномерную выпуклость, которая, в свою очередь, влечет строгую выпуклость норм банаховых пространств.
'Множество А из сопряженного пространства X’ называется тотальным, если справедлива импликация: если х* (х) = 0 для всех х* е А, то х

Рассмотрим' теперь конструкцию Федорчука [9], которая обычно используется для построения разного рода контрпримеров в топологии. Наша цель — исследовать пространство непрерывных функций на этих компактах. Ниже мы доказываем, что некоторые из них допускают эквивалентные локально равномерно выпуклые перенормировки.
Пусть X — компакт, и каждой точке хеХ поставлено в соответствие компактное пространство Ух. Пусть, далее, для каждой точки х из X задано непрерывное отображение Их: X {х} -> Ух. Определим на дизъюнктном объединении Зл{Ух-,хеХ} топологию, базу которой составляют множества вида:
0{х,и,У)=У[}п-1{и^Иу),
где V — открытое подмножество в Ух, и — окрестность точки X в X, а я:[)Ух->Х — естественная проекция, действующая по формуле л(у) = х, если уеУх. Полученное пространство принято обозначать В(Х,Ух,Ъх) [4,9].
Если компакт X, а также компактные пространства Ух, поставленные в соответствие каждому элементу х из X — хаусдорфовы, то пространство в(х,Ух,кх) является хаусдорфовым компактным пространством [4,9].
Рассмотрим пример конструкции Федорчука, где в качестве компактного пространства X возьмем обычный отрезок [о,1] вещественной прямой Я. Каждому элементу х из [од] пусть поставлен в соответствие отрезок [—1Д], и
задано отображение Ъх:[0,1] {*}->[-1,1 ] по правилу кх(г) = $т—— для каждого
2-Х
ге[од]{*}. Тогда пространство в(Х,Ух,Ьх)совпадаете произведением [0Д]х[-1Д], наделенным топологией, фундаментальная система окрестностей каждой точки в которой имеет вид, показанный на рисунке 2.2.